如何衡量程序运行的效率

文章目录

  • 复杂度是什么
  • 不同算法对复杂度的影响
    • 方法一
    • 方法二
  • 时间复杂度与代码结构的关系
    • 例 1:最大值
    • 例2:最大次数
  • 降低时间复杂度的必要性
  • 总结

当你在大数据环境中开发代码时,你一定遇到过程序执行好几个小时、甚至好几天的情况,或者是执行过程中电脑几乎死机的情况:

  • 如果这个效率低下的系统是离线的,那么它会让我们的开发周期、测试周期变得很长。
  • 如果这个效率低下的系统是在线的,那么它随时具有时间爆炸或者内存爆炸的可能性。

因此,衡量代码的运行效率对于一个工程师而言,是一项非常重要的基本功。本课时我们就来学习程序运行效率相关的度量方法。

复杂度是什么

复杂度是衡量代码运行效率的重要的度量因素。在介绍复杂度之前,有必要先看一下复杂度和计算机实际任务处理效率的关系,从而了解降低复杂度的必要性。

计算机通过一个个程序去执行计算任务,也就是对输入数据进行加工处理,并最终得到结果的过程。每个程序都是由代码构成的。可见,编写代码的核心就是要完成计算。但对于同一个计算任务,不同计算方法得到结果的过程复杂程度是不一样的,这对你实际的任务处理效率就有了非常大的影响。

举个例子,你要在一个在线系统中实时处理数据。假设这个系统平均每分钟会新增 300M 的数据量。如果你的代码不能在 1 分钟内完成对这 300M 数据的处理,那么这个系统就会发生时间爆炸和空间爆炸。表现就是,电脑执行越来越慢,直到死机。因此,我们需要讲究合理的计算方法,去通过尽可能低复杂程度的代码完成计算任务。

那提到降低复杂度,我们首先需要知道怎么衡量复杂度。而在实际衡量时,我们通常会围绕以下2 个维度进行。首先,这段代码消耗的资源是什么。 一般而言,代码执行过程中会消耗计算时间和计算空间,那需要衡量的就是时间复杂度和空间复杂度。

我举一个实际生活中的例子。某个十字路口没有建立立交桥时,所有车辆通过红绿灯分批次行驶通过。当大量汽车同时过路口的时候,就会分别消耗大家的时间。但建了立交桥之后,所有车辆都可以同时通过了,因为立交桥的存在,等于是消耗了空间资源,来换取了时间资源。

其次,这段代码对于资源的消耗是多少。 我们不会关注这段代码对于资源消耗的绝对量,因为不管是时间还是空间,它们的消耗程度都与输入的数据量高度相关,输入数据少时消耗自然就少。为了更客观地衡量消耗程度,我们通常会关注时间或者空间消耗量与输入数据量之间的关系。

好,现在我们已经了解了衡量复杂度的两个纬度,那应该如何去计算复杂度呢?

复杂度是一个关于输入数据量 n 的函数。假设你的代码复杂度是 f(n),那么就用个大写字母 O 和括号,把 f(n) 括起来就可以了,即 O(f(n))。例如,O(n) 表示的是,复杂度与计算实例的个数 n 线性相关;O(logn) 表示的是,复杂度与计算实例的个数 n 对数相关。

通常,复杂度的计算方法遵循以下几个原则:

  • 首先,复杂度与具体的常系数无关,例如 O(n) 和 O(2n) 表示的是同样的复杂度。我们详细分析下,O(2n) 等于 O(n+n),也等于 O(n) + O(n)。也就是说,一段 O(n) 复杂度的代码只是先后执行两遍 O(n),其复杂度是一致的。
  • 其次,多项式级的复杂度相加的时候,选择高者作为结果,例如 O(n²)+O(n) 和 O(n²) 表示的是同样的复杂度。具体分析一下就是,O(n²)+O(n) = O(n²+n)。随着 n 越来越大,二阶多项式的变化率是要比一阶多项式更大的。因此,只需要通过更大变化率的二阶多项式来表征复杂度就可以了。

值得一提的是,O(1) 也是表示一个特殊复杂度,含义为某个任务通过有限可数的资源即可完成。此处有限可数的具体意义是,与输入数据量 n 无关

例如,你的代码处理 10 条数据需要消耗 5 个单位的时间资源,3 个单位的空间资源。处理 1000 条数据,还是只需要消耗 5 个单位的时间资源,3 个单位的空间资源。那么就能发现资源消耗与输入数据量无关,就是 O(1) 的复杂度。

不同算法对复杂度的影响

为了方便你理解不同计算方法对复杂度的影响,我们来看一个代码任务:对于输入的数组,输出与之逆序的数组。例如,输入 a=[1,2,3,4,5],输出 [5,4,3,2,1]。

方法一

建立并初始化数组 b,得到一个与输入数组等长的全零数组。通过一个 for 循环,从左到右将 a 数组的元素,从右到左地赋值到 b 数组中,最后输出数组 b 得到结果。

代码如下:

public class s1_1 {
    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1,2,3,4,5};
        int b[] = new int[5];
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            b[b.length-i-1] = a[i];
        }
        System.out.println(Arrays.toString(b));
    }
}

这段代码的输入数据是 a,数据量就等于数组 a 的长度。代码中有一个 for 循环,作用是赋值,其执行次数都与输入数据量相等。因此,代码的时间复杂度就是 O(n)。

空间方面主要体现在计算过程中,对于存储资源的消耗情况。上面这段代码中,我们定义了一个新的数组 b,它与输入数组 a 的长度相等。因此,空间复杂度就是 O(n)。

方法二

它定义了缓存变量 tmp,接着通过一个 for 循环,从 0 遍历到a 数组长度的一半(即 len(a)/2)。每次遍历执行的是什么内容?就是交换首尾对应的元素。最后打印数组 a,得到结果。

代码如下:

public class s1_2 {
    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1,2,3,4,5};
        for (int i=0;i<=a.length/2;i++){
            int tmp = a[i];
            a[i] = a[a.length-i-1];
            a[a.length-i-1] = tmp;
        }
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }
}

这段代码包含了一个 for 循环,执行的次数是数组长度的一半,时间复杂度变成了 O(n/2)。根据复杂度与具体的常系数无关的性质,这段代码的时间复杂度也就是 O(n)。

空间方面,我们定义了一个 tmp 变量,它与数组长度无关。也就是说,输入是 5 个元素的数组,需要一个 tmp 变量;输入是 50 个元素的数组,依然只需要一个 tmp 变量。因此,空间复杂度与输入数组长度无关,即 O(1)。

可见,对于同一个问题,采用不同的编码方法,对时间和空间的消耗是有可能不一样的。因此,工程师在写代码的时候,一方面要完成任务目标;另一方面,也需要考虑时间复杂度和空间复杂度,以求用尽可能少的时间损耗和尽可能少的空间损耗去完成任务。

时间复杂度与代码结构的关系

好了,通过前面的内容,相信你已经对时间复杂度和空间复杂度有了很好的理解。从本质来看,时间复杂度与代码的结构有着非常紧密的关系;而空间复杂度与数据结构的设计有关,关于这一点我们会在下一讲进行详细阐述。接下来我先来系统地讲一下时间复杂度和代码结构的关系。

代码的时间复杂度,与代码的结构有非常强的关系,我们一起来看一些具体的例子。

例 1:最大值

定义了一个数组 a = [1, 4, 3],查找数组 a 中的最大值

代码如下:

public class s1_3 {
    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1,4,3};
        int max_value = a[0];
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            if (a[i]>max_value){
                max_value = a[i];
            }
        }
        System.out.println(max_value);
    }
}

这个例子比较简单,实现方法就是,暂存当前最大值并把所有元素遍历一遍即可。因为代码的结构上需要使用一个 for 循环,对数组所有元素处理一遍,所以时间复杂度为 O(n)。

例2:最大次数

下面的代码定义了一个数组 a = [1, 3, 4, 3, 4, 1, 3],并会在这个数组中查找出现次数最多的那个数字

代码如下:

public class s1_4 {
    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1, 3, 4, 3, 4, 1, 3};
        int count;
        int max_count = 1;
        int max_count_index = 0;
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            count = 1;
            for (int j=i+1;j<a.length;j++){
                if (a[i] == a[j]){
                    count++;
                }
            }
            if (count >max_count){
                max_count = count;
                max_count_index = i;
            }
        }
        System.out.println(a[max_count_index]+"出现的次数:"+max_count);
    }
}

这段代码中,我们采用了双层循环的方式计算:第一层循环,我们对数组中的每个元素进行遍历;第二层循环,对于每个元素计算出现的次数,并且通过当前元素次数 count和全局最大次数变量 max_count的大小关系,持续保存出现次数最多的那个元素及其出现次数。由于是双层循环,这段代码在时间方面的消耗就是 n*n 的复杂度,也就是 O(n²)。

在这里,我们给出一些经验性的结论:

  • 一个顺序结构的代码,时间复杂度是 O(1)。
  • 二分查找,或者更通用地说是采用分而治之的二分策略,时间复杂度都是 O(logn)。这个我们会在后续课程讲到。
  • 一个简单的 for 循环,时间复杂度是 O(n)。
  • 两个顺序执行的 for 循环,时间复杂度是 O(n)+O(n)=O(2n),其实也是 O(n)。
  • 两个嵌套的 for 循环,时间复杂度是 O(n²)。

有了这些基本的结论,再去分析代码的时间复杂度将会轻而易举。

降低时间复杂度的必要性

实际的在线环境中,用户的访问请求可以看作一个流式数据。假设这个数据流中,每个访问的平均时间间隔是 t。如果你的代码无法在 t 时间内处理完单次的访问请求,那么这个系统就会一波未平一波又起,最终被大量积压的任务给压垮。这就要求工程师必须通过优化代码、优化数据结构,来降低时间复杂度。

为了更好理解,我们来看一些数据。假设某个计算任务需要处理 10万 条数据。你编写的代码:

  • 如果是 O(n²) 的时间复杂度,那么计算的次数就大概是 100 亿次左右。
  • 如果是 O(n),那么计算的次数就是 10万 次左右。
  • 如果这个工程师再厉害一些,能在 O(log n) 的复杂度下完成任务,那么计算的次数就是 17 次左右(log 100000 = 16.61,计算机通常是二分法,这里的对数可以以 2 为底去估计)。

数字是不是一下子变得很悬殊?通常在小数据集上,时间复杂度的降低在绝对处理时间上没有太多体现。但在当今的大数据环境下,时间复杂度的优化将会带来巨大的系统收益。

总结

复杂度通常包括时间复杂度和空间复杂度。在具体计算复杂度时需要注意以下几点。

  1. 它与具体的常系数无关,O(n) 和 O(2n) 表示的是同样的复杂度。
  2. 复杂度相加的时候,选择高者作为结果,也就是说 O(n²)+O(n) 和 O(n²) 表示的是同样的复杂度。
  3. O(1) 也是表示一个特殊复杂度,即任务与算例个数 n 无关。

复杂度细分为时间复杂度和空间复杂度,其中时间复杂度与代码的结构设计高度相关空间复杂度与代码中数据结构的选择高度相关

人之为学,不可自小,又不可自大

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