2020-04-03

第三章 线性方程组的迭代解法

3.1 迭代法的一般形式

设线性方程组的系数矩阵非奇异且，从而具有一组唯一的非零解。

构造等价的方程组

任取一个初始向量，由上述迭代公式产生一个近似的解向量序列，若，则有，即是方程组的解。

有如下定义：若对于任意的初始向量，近似的解向量序列均收敛，则称迭代公式是收敛的，否则称迭代公式是发散的。称为迭代矩阵。

迭代法无需存储系数矩阵的零元素，因此特别适合求解零元素较多的系数矩阵所表示的线性方程组。

3.2 几种常用的迭代公式

1. Jacobi 方法（简单迭代法）

例子
构造迭代公式求解方程组

解
由方程组有

构造迭代公式有

取初始向量，得到迭代序列如下表所示：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	2.5000	2.8750	3.1364	3.0240	3.0003	2.9938	2.9990	3.0002	3.0001
	0	3.0000	2.3636	2.0455	1.9478	1.9840	2.0000	2.0026	2.0006	1.9999
	0	3.0000	1.0000	0.97160	0.92040	1.0010	1.0039	1.0031	0.99985	0.99988

而方程的精确解为：.

2. Gauss-Seidel 迭代法

例子
构造迭代公式求解方程组

解
由方程组有

构造迭代公式有

取初始向量，得到迭代序列如下表所示：

	0	1	2	3	4	5	6
	0	2.5000	2.9773	3.0098	2.9998	2.9999	3.0000
	0	2.0909	2.0289	1.9968	1.9997	2.0001	2.0000
	0	1.2273	1.0041	0.9959	1.0002	1.0001	1.0000

Gauss-Seidel 迭代法在用计算机计算时，只需要一组内存单元，而 Jacobi 迭代法需要两组内存单元分别存放和.

3. 逐次超松弛法(SOR方法)

是 Seidel 方法的加速，而 Seidel 方法是 SOR 方法的特例。

其迭代公式为：

其中，称为松弛因子。当时，称为低松弛法；当时，就是Seidel迭代法；当时，称为超松弛法。

3.3 迭代法的收敛条件

1. 从迭代矩阵判断收敛

设迭代公式收敛，且，引进误差向量，则

• 迭代公式收敛的充分必要条件为.
• 对任意初始向量，由迭代公式产生的序列收敛的充分必要条件为.
• 若，则由迭代公式和任意初始向量产生的序列收敛于精确解.
• 常用或来判断迭代法收敛，且的值越小收敛越快。但是时，不能由此判定迭代法不收敛。

例子
判断下列方程组 Jacobi 迭代法的收敛性。

解

；

但是

故 Jacobi 迭代法收敛。

2. 从系数矩阵判断收敛

• 若矩阵满足，且至少有一个严格不等式成立，则称 对角占优。若，则称 严格对角占优。
• 若矩阵经过行变换和相应的列变换，能够变成的形式，其中为方阵，则称为可约矩阵，反之则称为不可约矩阵。
• 若矩阵严格对角占优，则其非奇异。
• 若矩阵不可约且对角占优，则其非奇异。
• 若矩阵是严格对角占优，或者不可约对角占优，则解方程组的 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法均收敛。
• SOR 方法收敛的必要条件是。
• 若为实对称正定矩阵，且，则解方程组的SOR方法收敛。
• 若和均为实对称正定矩阵，则解方程的 Jacobi 迭代法收敛。
• 若严格对角占优，则当时，SOR方法收敛。
• 使得取最小值的称为最佳松弛因子，记为。

例子
设有方程组为
判别其 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的收敛性。

解


因此，解方程组的 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法均不收敛。

但是交换方程组两个方程的顺序后，即

方程组的系数矩阵为，是严格对角占优矩阵。此时 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法均收敛。

3.4 共轭梯度法