域的相对自同构
自同构
定义：设E是F的扩域,为域的扩张,为E的自同构,若,有,即在F上是恒等映射,则称为E相对于F的自同构,所有E相对于F的自同构组成一个群,称为扩张E/F的伽罗瓦群,记作
例：
1.设p为素数,p次本原单位根在上的极小多项式为
的所有根为,故是在上的分裂域
定义相对的自同构,在上为恒等映射,且
在任一相对的自同构下,一定映射为的某一个根,故是的所有相对的自同构,即,故
显然
群与模p乘法群同构,后者是循环群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽罗瓦群也是循环群
当g为模p的原根时,即的生成元
伽罗瓦群中任一相对自同构可看作多项式所有根的一个置换
注：将求解代数方程转化为研究方程所有根的一个置换群(伽罗瓦群)
2.令表示有个元的有限域,其中q为素数方幂,将看作它的子域的n次扩张
,是上的一个n次不可约多项式的根
的所有根为,故是的正规扩张
域相对的任一自同构必将映射为的某一个根
令为相对的自同构
,有,则
是由生成的n阶循环群,其中
引理：设为有限扩张,则
证明：
伽罗瓦扩张
定义：域的可分正规扩张称为伽罗瓦扩张,域的有限可分正规扩张称为有限伽罗瓦扩张
注：为交换群或循环群时,分别称为交换扩张(阿贝尔扩张)或循环扩张
定理：若是有限伽罗瓦扩张,则
证明：
注：若K为F和E的中间域(),E/F为伽罗瓦扩张,E为F的可分正规扩张,则E也是K上的可分正规扩张,故E/K也是伽罗瓦扩张,此时K是F上的可分扩张,但不一定是正规扩张
例：
1.设p为素数,p次本原单位根,是伽罗瓦扩张
2.令表示有个元的有限域,其中q为素数方幂,将看作它的子域的n次扩张,是伽罗瓦扩张
伽罗瓦群
定义：设为域F上的多项式,E为在F上的分裂域,则称为多项式或方程在F上的伽罗瓦群
例：设,,E为在上的分裂域,故是伽罗瓦扩张
在上的极小多项式为,在上的极小多项式为
故
又
故,以表示中6个相对的自同构,在和上的作用分别为