高中奥数 2021-10-02

2021-10-02-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P055 习题16）

已知为以为直径的圆上的一点、,在上的投影为,以为圆心、为半径的圆与以为直径的圆交于点、.证明:平分线段.

证明

设直线与交于点,与交于点,设与交于点,则在两圆根轴上,故关于,等幂,即,又由垂径定理知,,代人上式知所以平分,即平分线段.

图1

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P055 习题17）

已知圆和直线不相交,、、、为圆上的点,与、与分别交于点、,、在直线上.试确定所有以为直径的圆的公共点.

解

如图,设圆的圆心为,半径为.

由密克定理知,和的外接圆交于点,且在边上.

图2

由圆幂定理得:,.

于是,即为的垂线,且.

对任何一对满足条件的点,因为、、是固定的,所以,以为直径的圆一定过直线上的两点,其到直线距离为.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P055 习题18）

凸四边形的两条对角线交于点,和的重心分别为和,和的垂心分别为和.证明:.

证明

如图,作的两条高和,作的两条高和.

图3

因为,所以,、、、四点共圆且圆心为的中点.

同理,、、、四点共圆且圆心为的中点.

因此,为和的连心线.

又、、、四点共圆,则有.

由于和恰分别为点关于和的幂,所以,点在和的根轴上.

同理,点也在这条根轴上.

故直线就是和的根轴.

从而.

又,所以,.