线性代数的本质7-点积与对偶性

点积计算

• 在两个相同维数的向量或相同长度的数组之间，求点积的方法就是将相应坐标配对，求出每一对坐标的乘积，然后将结果相加：

点积的几何意义

• 点积也就等于w向量在v向量上投影的长度，乘以v向量的长度
  
• 当w向量与v向量不在同一个方向时，点积为负值
  
• 当w向量与v向量相互垂直时，意味着一个向量在另一个向量上的投影为零，则点积为零
  
• 点积与向量的顺序无关。

高维空间到一维空间的计算

• 一维空间就是一个数轴
• 与输出空间为高维的线性变换一样，输出空间为一维的线性变换也由它对i帽和j帽的变换而定。
• 一维空间的i帽和j帽等基向量，只落在一个数上。所以，在由矩阵来描述这个线性变换时，矩阵的每列只是一个单独的数。
• 假设有一个线性变换，将i帽和j帽分别变换至1和-2，然后跟踪一个向量(4,3)在变换后的去向：
  
  可以发现它最终落在-2上
  
• 当完全从数值角度进行计算时，它就是矩阵向量乘法。