傅里叶变换 离散傅里叶变换

傅里叶级数

是周期为T的周期函数，在周期内满足狄利克雷条件
则可以表示为：

函数向量的点积是这么定义的：

正交定义为：

则向量函数的正交基为，而则是向量函数在正交基中的坐标。

图片.png

、

是正交基，则

在

的坐标可以表示为：

同样的，

则

傅里叶级数展开可以表示为：

傅里叶级数的指数形式

根据欧拉公式

可得：




令


综合、、，指数形式的傅里叶级数展开可以表示为：

傅里叶积分定理

任何一个非周期函数可以看成的周期函数，所以对于任意的函数有：

其中

傅里叶变换

逆傅里叶变换

离散傅里叶变换 DFT

对于有限长度为N的信号：

采样频率，频率的取值也是离散的，取0、、、、、、


首先,离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔）；
然后,对于单频率成分的信号来说,经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T（做谱时间长度）倍,同样,对于相隔较远的多频率成分信号来说,相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍.
综合考虑这两种原因的话,也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N（做谱点数）倍,因此,必须将此结果除以N.
单边谱乘以2就是实际的幅值

采样定律

处理的是离散的时域信号，相当于时域信号与采样函数（周期单位的脉冲函数，多个偏移量不同的脉冲信号加和，单位脉冲信号经傅里叶变换后恒为1）相乘，根据傅里叶变换的乘法定律，变换后的频域函数会以采样频率重复.
根据奈奎斯特采样定律，如果信号的频率范围是~，采样频率要高于，才不会发生混叠。