2012年第一届数学建模国际赛小美赛A题把咖啡放在杯子里解题全过程文档及程序

2012年第一届数学建模国际赛小美赛

A题 把咖啡放在杯子里

原题再现：

  当你想喝杯咖啡时，咖啡有时会洒出来，有时不会，为什么？偶然的机会，一些同事冲出办公室，你需要调整姿势和节奏来保持咖啡在杯子里。建立数学模型，找出影响或控制咖啡溢出的因素。
  现在假设，一个机器人拿着一杯咖啡快速行走。考虑到随机振动，设计一种机器人控制速度的策略。

整体求解过程概述(摘要)

  在快节奏的社会里，几乎所有的人都选择带着一杯咖啡散步。本文通过对三种不同类型的咖啡杯的研究，发现咖啡杯在使用过程中经常会出现咖啡溢出现象，并取得了较好的效果。
  我们将这个问题分解为两部分：人体行走和液体晃动。针对步行速度随时间变化的特点，将其简化为水平简谐运动和垂直简谐运动的合成，并对模型进行了修正。对于液体晃动，我们也将俯仰角的变化简化为一个简单的简谐运动，并通过液体平衡方程和机械平衡方程来表达这一过程。我们发现咖啡是否溢出与步幅、步频、杯形和咖啡量有关。并通过参数分析对模型进行了验证。通过最小二乘法对参数进行拟合，计算出在步长为0.65m，步长为1.1s，平均速度为0.85m/s的情况下，聚焦人的最大偏离角为10.8°，最大容量为94.8%。
  在机器人方面，在原有模型中加入了手部摆动的随机振动。振动与步幅呈正相关，与步频呈负相关。通过测试步行策略中各参数的组合，计算了两种杯子在合适步行策略下的速度、液界面最大偏差和咖啡的最大容量。我们发现，苗条的步频与较高的步频相匹配，而矮胖的步频与保守策略相匹配。根据该策略，可以保证咖啡的最大流速和最大容量而不溢出。

模型假设：

  1） 将人体行走过程简化为简谐运动
  2） 杯体之间没有相对运动。
  3） 在水平方向上，正方向与人类行走相同，而在垂直方向上，正方向是向上的。
  4） 液位保持为平面。

问题重述：

  在忙碌和紧张的环境下，经常看到白领们端着一杯咖啡散步。然而，咖啡洒出来，弄得乱七八糟，给我们带来不便，这一现象引发了人们对如何防止咖啡洒出杯子的思考。虽然这个问题微不足道，很难找到突破点，但它在一定程度上对机器人是有用的。
  显然，该问题由两部分组成：人体行走和液体晃动。一般来说，导致咖啡溢出的因素可能与步频、速度和复合因素有关。
  根据生物力学，人们倾向于以最少的能量消耗移动身体。也就是说，人们会选择直线，当步行速度集中时，人们会选择合理的步频，使步频起伏不大。液体在直线方向上的偏差随速度的增加而减小。由于该问题的背景是一个冲出办公室的人，由于步行速度快，我们忽略了与身体相对的手的摆动因素，而对于机器人，我们考虑了手的摆动。
  由于液体界面溢出的可能性与最大加速度有关，因此我们选择它作为是否会从杯子溢出的测量值，并计算在给定咖啡液位下的最大偏离角。
  在我们的生活中有不同类型的咖啡杯。因此本文特别选取了三种类型的杯子。

  我们目前面临以下问题：
  1） 用数学公式描述人的行走过程
  2） 定义不同受力情况下的液体分布
  3） 该模型应用于机器人时，应考虑机器人的随机振动。问题是如何测量振动。

模型的建立与求解整体论文缩略图

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部分程序代码：(代码和文档not free)

clear all
min=[0.5, 0, 5.0, -1];
max=[1.5, 0.35, 7.5, 1];
best=min;
d=inf;
p=[];
x=[1:41];
x=(x-1).*(1/29);
y(1,:)=[1.30500000000000,1.16000000000000,1.16000000000000,1.01500000000000,0.5800000
00000000,0.870000000000000,0.580000000000000,0.870000000000000,0.493000000000000,0.6
67000000000000,0.580000000000000,0.580000000000000,0.580000000000000,0.580000000000
000,0.500000000000000,0.435000000000000,0.725000000000000,0.725000000000000,0.870000
000000000,0.725000000000000,1.01500000000000,1.01500000000000,0.870000000000000,1.01
500000000000,1.16000000000000,1.07300000000000,1.10200000000000,1.16000000000000,1.1
6000000000000,1.16000000000000,1.16000000000000,1.16000000000000,1.10200000000000,0.
928000000000000,0.870000000000000,0.870000000000000,0.725000000000000,0.87000000000
0000,0.725000000000000,0.812000000000000,0.783000000000000];
xi=[0:0.01:1.38];
y=interp1(x,y(1,:),xi,'spline');
x=xi;
[aa a]=size(x);
for i=(2:a-1)
 if (y(i)<y(i-1)&&y(i)<y(i+1))||(y(i)>y(i-1)&&y(i)>y(i+1))
 p=[p i];
 end
end
[aa a]=size(p);
temp=0;
%for i=2:a-1
% [zz z]=size(xi);
x=xi;
%y=yi;
for a1=min(1):0.05:max(1)
 for a2=min(2):0.01:max(2)
 for a3=min(3):0.1:max(3)
 for a4=min(4):0.1:max(4)
 c=[a1 a2 a3 a4];
 y(2,:)=c(1)+c(2)*cos(c(3)*x+c(4));
 dd=sum(abs(y(1,:)-y(2,:)));
 if dd<d
 d=dd
 best=c
 zz=y(2,:);
 end
 end
 end
 end
end
plot(x,y(1,:),'b')
hold on
plot(x,zz,'r')
xlabel('t(s)')
ylabel('v1(m/s)')

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