映射、函数、反函数概念+反函数求导法则在求值中的应用

映射概念

定义 设,是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素,按法则,在中有唯一确定的元素与之对应,那么称为从到的映射,记作其中称作元素(在映射下)的像,并记作,即而元素称为元素(在映射下的)一个原像;集合成为映射的定义域,记作,即;中所有元素的像组成的集合称为映射的值域,记作或,即

单射 若对中任意两个不同元素,它们的像,则称为到的单射.单射意味着对于任意在内有唯一原像.

映射又称为算子.根据集合,的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.其中从实数集(或其子集)到实数集的映射称为定义在上的函数.

逆映射

设是到的单射,则由定义,对每个,有唯一的,适合.于是,我们可以定义一个从到的新映射,即对每个,规定,这满足.这个映射称为的逆映射,记作.其定义域,值域.

函数概念

定义 设数集,则称映射为定义在上的函数,通常简记为其中称为自变量,称为因变量,称为定义域,记作,即.

反函数

设函数是单射,则它存在逆映射,称此映射为函数的反函数.
定理 若是定义在上的单调函数,则是单射,于是的反函数必定存在,且也是上的单调函数.证明见同济高等数学P10.

反函数求导法则

设函数在区间内单调、可导,且,那么它的反函数在区间内也可导,且证明见同济高等数学P87.

在求值中的应用

由于在法则中和具有一一对应的关系,所以可以在不求出反函数的导函数公式的情况下,直接通过原函数的导数求得反函数在对应点的导数值,即,则.
例题见同济高等数学P244 习题5-2 6.

例题