利用MATLAB构建特殊通用矩阵
在MATLAB编程中，经常需要遇到一些特殊的通用矩阵，本篇主要介绍的是MATLAB中可能会用到特殊矩阵。
1、零矩阵
MATLAB使用zeros函数来创建零矩阵，所谓零矩阵就是矩阵中所有元素皆为0的矩阵。zeros函数的调用方式如下所示：
（1）zeros(n)：n为常数，生成一个n×n的矩阵。
例如，生成一个4×4的零矩阵的代码为：
a=zeros(4)运行结果如下所示：
a =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0当n的值省略的时候，那么生成一个1×1的向量，结果如下所示：
ans =
0（2）zeros(m,n)：m，n均为常数，生成一个m×n的零矩阵。生成一个m×n的零矩阵也可以写成zeros([m,n])的方式。
例如生成一个3×4的零矩阵的代码如下：
a=zeros(3,4)运行结果如下所示：
a =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0（3）zeros(size(A))：A为矩阵，zeros生成一个与矩阵A相同行和列的零矩阵。
例如：
A=[3,4,5;2,7,8];
a=zeros(size(A))运行结果如下所示：
a =
0 0 0
0 0 0（4）zeros(m,n,'like',p)：p为矩阵，生成一个与p类型相同，大小为m行n列的零矩阵。
例如：
p=[2+1i,3;4,2+3i];
zeros(3,2,'like',p)在上述代码段中的p矩阵为一个复数矩阵，那么matlab中所求的结果应为一个3行2列的复数矩阵。运行结果如下所示：
ans =
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
（5）zeros(m,n,typename)：生成一个m行n列的矩阵，其中矩阵的中所有元素的类型通过typename指定的。
例如，生成一个3行4列的int类型的矩阵代码如下所示：
a=zeros(3,4,'int16')运行结果如下所示：
a =
3×4 int16 矩阵
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0在例如，生成一个3行4列的logical类型的矩阵代码如下所示：
a=zeros(4,4,'logical')运行结果如下如所示：
a =
4×4 logical 数组
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0在typename中可以选择的值包括：'double'、'single'、‘logical’、‘int8‘、’int16‘、'int32'、’uint8‘、'uint16'、’uint32‘或者是zeros函数支持的其他类的名称。
（5）flase函数
在MATLAB中，false函数用于生成全为0的逻辑矩阵。
例如，生成一个3行4类的全0逻辑矩阵，代码如下所示：
a=false(3,4)运行结果如下所示：
a =
3×4 logical 数组
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0需要注意的是，false(3,4)和zeros(3,4,'logical')所达成的效果是相同的。
2、幺矩阵
在线性代数中，矩阵中的所有元素的值全为1的矩阵的称为幺矩阵，在MATLAB中初始化幺矩阵通常使用ones函数，其中ones函数所使用的调用格式与zeros函数类似。
（1）例如，建立一个4行6列的ones函数的代码如下所示：
a=ones(4,6)运行结果如下所示：
a =
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
通过与zeros函数进行类比，可以对于ones函数使用相同的操作。
（2）true函数
在MATLAB中，true函数用于生成全为1的逻辑矩阵。
例如，生成一个3行4类的全1逻辑矩阵，代码如下所示：
a=true(3,4)运行结果如下所示：
a =
3×4 logical 数组
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1需要注意的是，true(3,4)和ones(3,4,'logical')所达成的效果是相同的。
3、eye函数
在MATLAB中，eye函数可以初始化单位矩阵，即对角线上元素均为1其余元素均为0的方阵。
例如初始化一个3行3列的单位矩阵代码如下：
a=eye(3,3)运行结果如下所示：
a =
1 0 0
0 1 0
0 0 1需要注意的是，eye函数不仅可以初始化单位矩阵，同时可以初始化行和列不相同的矩阵，其中主对角线的元素全为1，其余元素均为0。例如：
a=eye(3,4)
b=eye(4,3)运行结果如下所示：
a =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
b =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 04、随机矩阵
在MATLAB中，有多个函数用于生成随机矩阵，包括rand函数、randi函数、randn函数和randperm函数:
（1）rand(m,n)：生成一个m行n列的矩阵，矩阵中所有元素的值均在0-1之间。
例如初始化一个3行4列的随机矩阵，代码如下：
a=rand(3,4)运行结果如下所示：
a =
0.8147 0.9134 0.2785 0.9649
0.9058 0.6324 0.5469 0.1576
0.1270 0.0975 0.9575 0.9706（2）randi(imax,m,n)：生成一个m行n列的矩阵，其中矩阵的所有元素为[1,imax]均匀分布的随机矩阵。
例如初始化一个4行5列，元素从[1,6]之间的矩阵，代码如下所示：
a=randi(6,4,5)运行结果如下所示：
a =
6 3 4 5 4
3 6 1 5 2
5 5 6 5 5
1 6 6 3 1（3）randn(m,n)：生成一组3行4列的矩阵，其中矩阵中的所有元素为平均值为0、方差为1的标准正太分布随机数。
例如，初始化一个均值为0、方差为1的4行5列的矩阵，代码如下所示：
a=randn(4,5)运行结果如下所示：
a =
0.6007 1.5326 1.1174 1.1006 -0.7423
-1.2141 -0.7697 -1.0891 1.5442 -1.0616
-1.1135 0.3714 0.0326 0.0859 2.3505
-0.0068 -0.2256 0.5525 -1.4916 -0.6156
（4）randperm(n,k)：将[1,n]的整数随机排列，生成一个指定长度为k的向量：
例如初始化一个长度为6，将[1,6]之间的整数随机排列的向量：
a=randperm(6,6)运行结果如下所示：
a =
2 1 5 3 4 6需要注意的是randperm(n,k)中，但k的小于n时（k必须小于等于n），运行结果是随机选取k个[1,n]的整数进行随机排列的向量。
例如，初始化一个长度为4，将区间[1,6]的整数随机排列的向量，代码如下所示：
a=randperm(6,4)运行结果如下所示：
a =
3 6 4 1
5、魔方矩阵
魔方矩阵又称幻方、九宫格、纵横线，是有相同的行数和列数，并在每行每列、对角线上的和都相等的矩阵，其中矩阵的每一行以及每一列的和均为
。魔方矩阵中的每个元素不能相同。（本段定义参考百度百科魔方矩阵）
在MATLAB中，提供magic函数来生成一个魔方矩阵，调用格式如下所示：
magic(n)：生成n阶的魔方矩阵。
例如生成一个4阶的魔方矩阵，代码如下所示：
a=magic(4)运行结果如下所示：
a =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 16、范德蒙德矩阵
使用MATLAB所生成的范德蒙德矩阵中，最后一列的元素全为1，倒数第二列的元素为用户指定的向量，而其余列是其后一列向量与倒数第二列向量的点乘积。在MATLAB中，使用vander函初始化一个范德蒙德矩阵。
例如，初始一个倒数第二行元素从上到下依次是1、3、4、7、8的5阶矩阵，代码如下：
a=vander([1,3,4,7,8])运行结果如下所示：
a =
1 1 1 1 1
81 27 9 3 1
256 64 16 4 1
2401 343 49 7 1
4096 512 64 8 17、帕斯卡矩阵
帕斯卡矩阵是由
展开之后系数随n的增大组成的三角形表，又称为杨辉三角表。其矩阵的第1行和第1列的元素均为1，其余第i行第j列的元素
。在MATLAB中使用pascal函数生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例如，生成一个5阶帕斯卡矩阵，代码如下：
a=pascal(5)
运行结果如下所示：
a =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70同时帕斯卡矩阵可以计算的展开式中各项的系数，第1至第n项的系数为从
、
...
例如计算
的展开式的系数：
a=pascal(4)运行结果如下所示：
a =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
则
的各项系数为顺着副对角线从左下角至右上角（或从右上角值左下角）各个元素的值，即：
8、托普利兹矩阵
托普利兹矩阵是矩阵第一行和第一列的元素，其他元素都是和左上角的元素相同。在MATLAB中，toeplitz(v1,v2)：v1和v2分别表示托普利兹矩阵的第一列的列向量和第一行的行向量。其中v1向量和v2向量的首元素必须相同。
例如初始化化一个托普利兹矩阵：
a=toeplitz([4,3,2,6],[4,6,9,10,12])运行结果如下所示：
a =
4 6 9 10 12
3 4 6 9 10
2 3 4 6 9
6 2 3 4 69、希尔伯特矩阵
希尔伯特矩阵是一个数学变化矩阵，每个元素的值
，希尔伯特矩阵是个高度病态的矩阵（即任何一个元素发生变化，整个矩阵的行列式和逆矩阵都会发生巨大变化），MATLAB提供了hilb函数生成希尔伯特矩阵。其中hilb函数有两种调用格式：
hilb(n)：n为常数，返回一个n阶的希尔伯特矩阵。
hilb(n,classname)：n为常数，表示的是希尔伯特矩阵的阶数，classname表示矩阵的类，classname的矩阵的类，可以取值为‘double’和‘single’，其中默认值为‘double’。
例如初始化一个4阶希尔伯特矩阵：
a=hilb(4)运行结果如下所示：
a =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429在例如初始化一个single类的5阶矩阵。
a=hilb(5,'single')
运行结果如下所示：
a =
5×5 single 矩阵
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250
0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111
MATLAB中有专门求希尔伯特矩阵的逆矩阵的函数invhilb函数，当n小于15时，invhilb(n)生成希尔伯特矩阵的精确的逆矩阵，当n大于15时，invhilb(n)生成的是Hilbert矩阵的近似矩阵。
10、伴随矩阵
MATLAB对于一个多项式
的伴随矩阵为：
方程p(x)的根称为A的特征值。
MATLAB生成使用compan函数生成伴随矩阵，例如求
的伴随矩阵，代码如下：
运行结果如下所示：
a=compan([4,5,12,4,6])运行结果如下所示：
a =
-1.2500 -3.0000 -1.0000 -1.5000
1.0000 0 0 0
0 1.0000 0 0
0 0 1.0000 011、级联矩阵
MATLAB将用指定方向进行合并两个或者多个矩阵，函数调用如下如下：
（1）cat(dim,A1,A2,A3,A4,...An)：在指定维度合并矩阵，cat(1,A,B)等同于cat(1,A,B)等同于[A;B]，而cat(2,A,B)等同于[A,B]。
例如将三个矩阵的纵向合并矩阵：
A=[1,2,3;4,3,5];
B=[1,2,1;5,4,1];
C=[0,1,6;7,3,1];
D=cat(1,A,B,C)
E=cat(2,A,B,C)运行结果如下：
D =
1 2 3
4 3 5
1 2 1
5 4 1
0 1 6
7 3 1
E =
1 2 3 1 2 1 0 1 6
4 3 5 5 4 1 7 3 1（2）horzcat(A1,A2,...An)：横向合并矩阵，horzcat(A,B)等同于[A,B]。
例如：
A=[1,3;4,6;3,1];
B=[3,2;1,4;5,1];
A=horzcat(A,B)运行结果如下所示：
A =
1 3 3 2
4 6 1 4
3 1 5 1（3）horzcat(A1,A2,...An)：纵向合并矩阵，horzcat(A,B)等同于[A;B]。
例如：
A=[1,3,4;6,3,1];
B=[3,2,1;4,5,1];
A=vertcat(A,B)运行结果如下所示：
A =
1 3 4
6 3 1
3 2 1
4 5 1（4）repmat(A,m,n)：复制矩阵A来构造一个新的矩阵，其中纵向复制m个A，横向复制有n个A。
例如：
A=[1,4;5,8]
A=repmat(A,2,3)运行结果如下所示：
A =
1 4 1 4 1 4
5 8 5 8 5 8
1 4 1 4 1 4
5 8 5 8 5 812、累计矩阵
在MATLAB中，使用accumarray对于指定的向量进行累计，然后用计算的结果构造一个新的矩阵。accumarray有如下几种调用格式：
（1）accumarray(subs,val)：subs是下标矩阵或者是向量，而val是数据，val可以是一个标量或者是一个向量。
当subs是一个向量时：
val=1;
subs=[1;2;5;2;4];
a=accumarray(subs,val)运行结果如下所示：
a =
1
2
0
1
1由上图中的运行显示，返回的是一个计数向量，表示的subs向量中下标出现次数与val的积。如果将val的值改为2：
val=2;
subs=[1;2;5;2;4];
a=accumarray(subs,val)运行结果如下所示：
a =
2
4
0
2
2对比两次运行结果可以看到，当val变化增加一倍时，返回的结果也同样增加一倍。
当val是一个向量时：
val=10:10:50;
subs=[1;2;5;3;4];
a=accumarray(subs,val)运行结果如下所示：
a =
10
20
40
50
30当subs是一个二维矩阵的时候，subs矩阵中的每行是val中对应元素的位置。
例如：
val = 10:10:50;
subs=[1,3;3,1;2,2;3,2;2,1];
a=accumarray(subs,val)运行结果如下所示：
a =
0 0 10
50 30 0
20 40 0当subs中如果两行元素相同的时候，那么对应的val就会累计起来。例如：
val = 10:10:50;
subs=[1,3;3,1;2,2;3,2;3,1];
a=accumarray(subs,val)运行结果如下所示：
a =
0 0 10
0 30 0
70 40 0（2）accumarray(subs,val,sz)：subs和val同（1）相同，而sz表示的是输出数组的大小。其中，ALL(MAX(subs)<=sz)，例如：
val=10:10:50;
subs=[1;2;5;3;4];
sz=[6 1]
a=accumarray(subs,val,sz)运行结果如下所示：
a =
10
20
40
50
30
0由运行结果可以看出，返回的结果为6行1列的矩阵，其中大于原来行数的内容会用0来补充。
（3）accumarray(subs,val,sz,fun)：subs和val同（1）相同，sz表示的输出数组的大小，其中，其中ALL(MAX(subs)<=sz)，fun表示的是函数，默认情况下为[]，例如;
val = 1:5;
subs = [1,1;2,1;2,2;1,2;2,1];
a = accumarray(subs,val,[],@(x) {x})运行结果如下所示：
a =
2×2 cell 数组
{[ 1]} {[4]}
{2×1 double} {[3]