线性代数——（期末突击）行列式（上）-行列式计算、行列式的性质

目录

行列式

行列式计算

逆序数 

行列式的性质

转置

两行（列）互换

两行（列）对应相等

提公因子

两行（列）对应成比例

某行（列）为零

行列式分裂

行列式变换及三角行列式

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行列式

行列式计算

• 行列式：（i是行标，j是列标） 
• 计算方法（以二阶行列式为例）：主对角线（ad）减去次对角线（bc）

• 三阶行列式同理

 

逆序数 

• 逆序数：本质就是数一下大的数排在小的数前面的个数

例如，4213的逆序数为3+1=4。简单解释一下：4213原本的顺序应为1234，对于‘4’而言，‘2’、‘1’、‘3’都应该排在它的前面，所以此处记逆序数为3；对于‘2’而言，‘1’应该排在它的前面，而‘3’排在它之后 是合理的，所以此处只有一个逆序数；最后看‘1’，其后面的‘3’排在后面显然也是合理的，故而4213的逆序数为4.

换个例子，大家可以自行理一遍：5712的逆序数为4.

行列式的性质

转置

即行列互换。

         

两者的值相等。

两行（列）互换

行列式两行（列）进行互换时，其值要变号。（变换一次就变一次号）

例：

        

将第一行和第三行互换，

此时.

两行（列）对应相等

行列式如果两行或者两列对应相等，则该行列式值为0.

        

提公因子

行列式中某一行或者某一列都有公因子K，则K可以提到行列式外。（每一行提一次或者每一列提一次）

例：

两行（列）对应成比例

若行列式两行或两列元素对应成比例，则该行列式等于0.

例：

某行（列）为零

若行列式某一行（列）为0，则该行列式=0.

注意，由D=0不能推出以下性质：

• 全为0
• 两行相等
• 成比例

行列式分裂

将和的那一行分开，其余行保持不变，列同理，（举例说明比较容易理解）

例：

行列式变换及三角行列式

某一行（列）乘以一个数，再加到另一行上去，其值不变。

这一性质是最重点的，也是最常用的，就不再赘述；下面回顾一下 上三角行列式、下三角行列式以及反三角行列式的计算：

以主对角线为分界线的就为正三角，反之则为反三角行列式。

上三角：

下三角：

反上三角：

反下三角： 

显然地，

一般我们使用这个性质来计算四阶行列式，也就是将其变换成三角行列式，再计算对角线的值；称为“化三角法”。

注意：

1. 变换过程中，先处理第一行（列），再处理第二行（列），依次向后
2. 若第一行（列）处理完，则第一行（列）不再参与运算，往后同理

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END

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学习自：https://www.bilibili.com/video/BV1xM41147Mj?vd_source=11f3dfb26d11a6a6832ed5c079654e1c