深入理解感知机

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1.模型

感知机的模型如下图所示：

linear_classifier_structure.png

公式表示如下所示：
$$
f(x) = sign(w \cdot x + b) \
sign(x) = \begin{cases} +1 & x \geq 0 \
-1 & x < 0
\end{cases}
$$
对于该分类器，其假设空间为特征空间的所有线性分类器，从几何学的角度可以理解为是特征空间中所有的超平面。那么，只要样本在特征空间中是线性可分的（可以被一个超平面完美划分），由感知机的假设空间，那么这个超平面一定在假设空间内，所以感知机是可以用于区分所有线性可分的样本。

2.学习策略

2.1.代价函数

感知机的目标是为了找到那个能完美划分线性可分样本的超平面。为了达到这个目标，我们需要定义代价函数。代价函数的意思是该函数刻画的是模型的性能，通常需要满足以下条件：

• 条件一：模型性能越好，代价函数越小，模型性能越差，代价函数越大
• 条件二：连续可导

条件一是使代价函数可以刻画模型性能，条件二是为了该模型可以使用梯度下降的方法优化

2.2.感知机代价函数选择

对于感知机，选取代价函数为：
$$
L(w,b) = - \sum\limits_{x_i \in M}y_i(w \cdot x_i + b)
$$
其中M为分类错误的样本集合。对于该代价函数，显而易见是连续可导的，且当分类错误的时候$y_i$和$w \cdot x_i + b$异号，代价为正。则当模型性能好时，M中样本少，代价较小；模型性能差时，M中样本多，代价较大。

该代价函数还可以从几何学角度解释，空间中任意一点$x_0$到超平面的距离为：
$$
\cfrac{1}{||w||} \cdot |w \cdot x_0 + b|
$$
由此，错误分类的样本$y_i$和$w \cdot x_i + b$异号，由此有以下：
$$
\cfrac{1}{||w||} \cdot |w \cdot x_i + b| = \cfrac{1}{||w||} \cdot (w \cdot x_i + b) \cdot y_i
$$
取M为分类错误样本集合，则所有分类错误的样本到超平面距离如下：
$$

• \cfrac{1}{||w||} \sum\limits_{x_i \in M} y_i(w \cdot x_i + b)
  $$
  不考虑常数$\cfrac{1}{||w||}$，则可以获得感知机代价函数$L(w,b) = - \sum\limits_{x_i \in M}y_i(w \cdot x_i + b)$

3.学习算法

3.1.基本算法

感知机算法是错误驱动的，由以上的代价函数，感知机的学习算法变为：
$$
argmin_{w,b}(-\sum\limits_{x_i \in M}y_i \cdot (w \cdot x_i + b))
$$
为了使代价函数下降最快，向代价函数的负梯度方向优化w和b。对代价函数取w和b的梯度：
$$
\nabla_wL(w,b) = - \sum\limits_{x_i \in M}y_i \cdot x_i \
\nabla_bL(w,b) = - \sum\limits_{x_i \in M}y_i
$$
由此可获得更新方法：
$$
w^{n} = w^{n-1} - \eta \cdot \nabla_wL(w^{n-1},b{n-1}) \
b^{n} = b^{n-1} - \eta \cdot \nabla_bL(w^{n-1},b{n-1})
$$
其中，$\eta$为学习率，表示每一次更新的步长，学习率越大更新越明显。由此，每次选择一批错误分类的点，进行上述的优化，多次循环即可学得可以正确分类的感知机模型

3.2.对偶算法

将梯度表达式带入更新公式：
$$
w^{n} = w^{n-1} +\eta \cdot \sum\limits_{x_i \in M}y_i \cdot x_i \
b^{n} = b^{n-1} +\eta \cdot \sum\limits_{x_i \in M}y_i
$$
若w和b的初始值都是0，$\eta = 1$，则可以认为w是错误样本的$y_i \cdot x_i$的和，b是错误样本标签的和，由此可以得到以下公式：
$$
w = \sum\limits_{x_i \in M} a_i \cdot y_i \cdot x_i \
b = \sum\limits_{x_i \in M} a_i \cdot y_i
$$
其中$a_i$是该样本被错误分类的次数，可以发现，分类错次数越多的样本在参数中所占的比例越大。则每次选择一批数据输入，将分类错误的样本按更新公式计入参数，重复多次直到无错误样本即可。

4.延伸

4.1.感知机与支持向量机

感知机的对偶优化算法已经有一些支持向量机思想的影子——只有少数“关键样本”决定分类器超平面的位置，其他的样本并不重要，有对偶算法得到的w和b公式：
$$
w = \sum\limits_{x_i \in M} a_i \cdot y_i \cdot x_i \
b = \sum\limits_{x_i \in M} a_i \cdot y_i
$$

可以将$a_i$视为样本的权值，分类错误次数越多该权值$a_i$越大，即该样本越重要。很自然的可以想到距离最终超平面越近的样本越容易分类错，这种样本的权值也就越高，这些样本也就越重要。

4.2.感知机与神经网络

感知机是神经网络的基础，感知机也被成为单层神经网络。感知机的一大缺陷是无法解决线性不可分问题，想要解决这一问题，需要将原来线性不可分的样本映射到另一个特征空间去，在该空间样本线性可分，映射方法主要有两种：

• 人工指定映射方法：手动指定映射的方法，代表为核函数（核方法）
• 自动寻找映射方法：使用机器学习的方法自动获得映射方法，代表为神经网络

神经网络可以分解如下：

linear_classifier_nn.png

当输入是线性不可分样本时，通过复杂的隐藏层（全连接层，卷积层或胶囊层）层层映射，最终在输出层之前将数据映射到一个线性可分的特征空间中，再由感知机进行线性分类。其中映射方法由神经网络自行学得。所有输出层为感知机层的神经网络都可以放在这个框架下理解。

除此以外，感知机还奠定了神经网络的基础理论。例如神经网络的基本学习框架也是梯度下降：使用反向传播计算梯度，优化算法迭代获得新的参数。

参考文献

《统计学习方法》李航