力扣:63. 不同路径 II(动态规划)

题目:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish”)。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1:
力扣:63. 不同路径 II(动态规划)_第1张图片

输入:obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出:2
解释:3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径:

  1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

力扣:63. 不同路径 II(动态规划)_第2张图片

输入:obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出:1

提示:

m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

思路:

这道题相对于力扣:62. 不同路径(动态规划,附python二维数组的定义)就是有了障碍。
不同路径中我们已经详细分析了没有障碍的情况,有障碍的话,其实就是标记对应的dp数组保持初始值0就可以了。

动规五部曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义(跟上题一样)

这里要明确dp数组的含义,定义dp数组是为了找到不同路径,
dp[i][j] :表示从(0 ,0)出发,到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

  1. 确定递推公式

递归公式跟上题一样,dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
但这里需要注意一点,因为有了障碍,(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态(初始状态为0)。

代码如下:

                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
  1. dp数组如何初始化

这里的初始化是重点,
如果(i, 0) 这条边有了障碍之后,障碍之后(包括障碍)都是走不到的位置了,所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。下标(0, j)的初始化情况同理。

所以本题初始化代码为:

        for i in range(n):
            if obstacleGrid[0][i] == 0:
                dp[0][i] = 1
            else:
                break
        for j in range(m):
            if obstacleGrid[j][0] == 0:
                dp[j][0] = 1
            else:
                break

注意:一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况,一定要退出循环!不然之后障碍之后的点依旧会被赋值。

  1. 确定遍历顺序(跟上题一样)

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出,一定是从左到右一层一层遍历,这样保证推导dp[i][j]的时候,dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

  1. 举例推导dp数组

拿示例1来举例如题:

力扣:63. 不同路径 II(动态规划)_第3张图片
对应的dp数组如图:
力扣:63. 不同路径 II(动态规划)_第4张图片

完整代码:

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        # 获取网格的列数和行数
        n = len(obstacleGrid[0])
        m = len(obstacleGrid)
        
        # 如果起点或终点有障碍物,直接返回0
        if obstacleGrid[0][0] == 1 or obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1:
            return 0
        
        # 初始化一个二维数组dp,用于存储到达每个位置的路径数量
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        
        # 初始化第一行,如果没有障碍物,则到达每个位置的路径数量为1,否则后面的位置均不可达
        for i in range(n):
            if obstacleGrid[0][i] == 0:
                dp[0][i] = 1
            else:
                break
        
        # 初始化第一列,如果没有障碍物,则到达每个位置的路径数量为1,否则后面的位置均不可达
        for j in range(m):
            if obstacleGrid[j][0] == 0:
                dp[j][0] = 1
            else:
                break
        
        # 计算其余位置的路径数量
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                # 如果当前位置没有障碍物,则到达当前位置的路径数量为到达上方和左方位置的路径数量之和
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        
        # 返回到达终点的路径数量
        return dp[m - 1][n - 1]

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n × m),n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
  • 空间复杂度:O(n × m)

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