sympy分析函数的极限

极限

sympy.series.limits提供了与极限有关的函数，比如最基础的limit，可用于求解极限

from sympy import limit, sin, oo
from sympy.abc import x
limit(sin(x)/x, x, 0)   # 1
limit(1/x, x, oo)       # 0

其输入的三个参数分别表示函数表达式，被取极限的变量，以及变量趋向的极限位置。

limit函数有一个可选参数dir，表示逼近极限时的方向，可选+, -或者+-，默认为+，以${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}$为例，当dir取值不同时，其返回值亦不相同

dir	“+”	“-”	“±”
返回值	oo	-oo	zoo

阶数

众所周知，无穷大和无穷小在做四则混合运算的时候会出现不定式，解决这种不定式的关键就是认清不同无穷的阶数。sympy中提供了Order工具，即可胜任此工作。

from sympy import Symbol, Order
x = Symbol('x')
Order(x + x**2)     # O(x)
Order(x + 1)        # O(1)

其含义是，$x+x^2$在$x$趋近于0时，可约等于$x$。

Order实质上是一个类，构造时可输入三个参数，分别是函数表达式和限定条件，例如想求${\lim }_{x\to \infty }{x}^2+x$的阶数，则需如下用法

Order(x + x**2, (x, oo))
# O(x**2, (x, oo))

上述代码表明，当$x\to \infty$时，$x^2+x$等于$x^2$。

此外，sympy中提供了Order类的简化写法O。

泰勒展开

泰勒展开是分析复杂函数极限的重要工具，sympy中的series便提供泰勒展开的功能，示例如下

from sympy import series
x = Symbol('x')
series(sin(x),x)
# x - x**3/6 + x**5/120 + O(x**6)

其含义是

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+O(x^6)$$

这个示例中，series输入了两个参数，分别是表达式和变量，此外还有3个参数

• x0 x的计算位置，默认为0
• n 泰勒展开的阶数，默认为6
• dir 极限逼近的方向，默认"+"

如果给出另一个位置，比如$x_0=0,5$，则返回值如下

series(sin(x),x, 0.5)
# 0.0406342576590166 - 0.239712769302102*(x - 0.5)**2 - 0.146263760315062*(x - 0.5)**3 + 0.0199760641085085*(x - 0.5)**4 + 0.00731318801575311*(x - 0.5)**5 + 0.877582561890373*x + O((x - 1/2)**6, (x, 1/2))

即

$$\begin{gathered} 0.0406342576590166+0.877582561890373x \\ -0.239712769302102(x-0.5{)}^2-0.146263760315062(x-0.5{)}^3 \\ +0.0199760641085085(x-0.5{)}^4+0.00731318801575311(x-0.5{)}^5 \\ +O((x-1/2{)}^6,(x,1/2)) \end{gathered}$$