线性代数入门与学习笔记

该内容为重拾部分线性代数知识的学习笔记,内容上更多的是为了解决问题而学习的内容,并非系统化的学习。
针对的问题为:Music算法推导求解过程中的矩阵计算知识。
学习的内容包括:矩阵原理、矩阵行列式、矩阵的秩、线性变换矩阵变换、单位矩阵与逆矩阵、特征值和特征向量。
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一. 矩阵

  1. 线性方程组
    线性方程组,多元x1 x2 x3等组成的线性方程组。线性方程组的解只有三种情况:0个解、1个(组)解和无穷多个解。
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  2. 增广矩阵
    增广矩阵为系数矩阵+常数项矩阵,是一种更简单的表达。
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  3. 理想矩阵:阶梯型矩阵、对角矩阵
    通过对矩阵进行初等行变换,即行的倍数、行的叠加、行的倍数再叠加,矩阵的解不变。
    从最下面一行开始消元,得到理想型矩阵可以方便求解元,该方法叫做高斯消元法。
    阶梯型矩阵就可以方便求解,对角矩阵则是更加理想的矩阵。
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  4. 矩阵与向量
    空间中的向量,可以用多个正交单位向量的组合表示。
    多个向量的线性组合为这些向量的向量空间。
    线性相关:多个向量的线性组合能够等于0,其中他们的系数不全为0,即线性相关,否则线性无关。
    定义:n+1个n维向量一定是线性相关的。因为n个不相关的向量已经组成了整个n维的自由空间,多一个肯定是在这个自由空间中的。
    向量的计算:数乘、加法、线性组合。
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  5. 齐次方程组
    齐次方程组的常数矩阵为0,即Ax = 0
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  6. 矩阵乘法
    矩阵乘法中,左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数。

二、矩阵行列式

  1. 行列式可以Det(A)表示
  2. 行列式为符号系数+子矩阵行列式的叠加。

三、矩阵秩

  1. 秩的定义
    矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数。
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  2. 秩对求解个数的意义
    系数矩阵的秩=增广矩阵的秩:1个解
    系数矩阵的秩<增广矩阵的秩:0个解
    系数矩阵的秩>增广矩阵的秩:无穷个解

四、线性变换、矩阵变换

  1. 线性变换和矩阵变换
    这两种变换是可以在一定程度上转换的。

五、单位矩阵与逆矩阵

  1. 单位矩阵
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  2. 逆矩阵
    逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵。
    逆矩阵的计算可以由下述公式计算,分母为矩阵行列式,也可以用Det(A)表示,选取最佳的一行(0比较多的行)进行计算。分子为伴随矩阵。
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六、特征值与特征向量

  1. 特征值和特征向量
    矩阵和特征向量的乘积,正好为一个特征值与该特征向量的乘积。即矩阵的乘积,只改变该方向的大小,而不改变方向。
    特征向量表达了方向,特征值表达了大小。
    个人理解:特征向量意味着该矩阵在这个方向上的映射。
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  2. 特征值计算
    Ax = λx
    Ax = λIx
    (A-λI)x = 0
    Det(A-λI) = 0
    得到多个特征值

  3. 特征向量的计算
    带入特征值到上式,进行计算和求解。
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  4. 意义
    几何意义为变换效果只发生缩放,不发生其他如旋转、平移。
    代数意义为矩阵的内部结构进行了分解和化解。

七、协方差矩阵

  1. 协方差矩阵
    个人理解:表达了两个矩阵之间的关联性。

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