拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

• 拉氏变换在工学中被广泛应用于系统的稳定性和响应。而其对于药学的应用之一，就是方便我们在计算各种模型时，可以简化微分、积分的运算。要理解这样一句话：拉普拉斯变换，可以把一个函数，哪怕是一个无穷级的函数，转换成一个，以s为参数的自然数为底的指数函数。
  所以应该清楚一点的是，在药代动力学的各种模型的计算中，拉氏变换的意义就是简便我们的运算。通过三步：1）对原函数每项进行拉氏变换。2）对变换后的代数方程求解。3）求解的逆运算。 从而从容不迫的化繁为简。
• 所以如果遇到不是很复杂的函数，通过简单地积分就能求解的，用拉氏变换也没有必要。当然如果你要装X o(￣▽￣)ｄ 也没理由阻止你。

写在前面

B站某up主上传的大学公开课（应该是台湾的某个大学） 内容包含了拉氏变换的数学内容 拉氏变换的逆转换我就是从这里学的 很清晰了
微积分公开课

一般的拉普拉斯的常微分方程的相关结论的推导可以看下面这个干货，非常厉害！
[干货]---Laplace变换与常微分方程（一） 作者：zdr0

拉普拉斯变换的实际意义及推导可以看看这个视频，我下面关于拉普拉斯变换的解释基本取材于这个视频。
拉普拉斯变换了什么？

• 我在下面的推导中，也会尽可能的把每一步都写的比较细致，尽可能的方便理解。

什么是拉普拉斯变换

由于拉普拉斯变换（laplace tranform）是傅里叶变换（fouier transform）的延伸，而傅里叶变换则是把一堆函数，拆解成正弦波的叠加。而这个正弦函数形式，又可以通过欧拉公式（Euler's formula），转换成我们熟知的指数函数形式。然而傅里叶变换的缺陷在于，它不满足于狄利赫里条件（Dirichlet Conditions），函数不收敛，无法积分，比如函数y=x^2 就无法进行傅里叶变换。这时候，拉氏变换就献祭出来了， 通过对傅里叶变换的函数乘一个绝对衰减的函数e^-σx，σ>0，同时也作出一定的牺牲，x只能在[0，正无穷] 取值（不过对于我们来说时间t为变量，本身就是大于0 的数字，没有影响）。经过这样的处理后，函数就被掰弯了（可以理解为上升的函数又降下来意味着可以积分了），在这样的变换及条件下，就可以进行傅里叶变换了。（这个过程也就是拉氏变换：通过对函数衰减后，再进行傅里叶变换）