高中奥数 2021-11-26

2021-11-26-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P022 例1）

设、、为复数,,解关于的方程:.

分析与解

方程两边取共轭得,,即.

两边同乘得

又因为

所以可得,取共轭得.

因为,所以.

注在解复数方程的问题中,适当地取模或者共轭往往会简化很多计算过程.

2021-11-26-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P023 例2）

已知关于的实系数方程的两虚根、在复平面内的对应点为、,求以、为两焦点,且经过原点的椭圆的普通方程.

分析与解

由原方程有两个虚根可知:,因此.

设,则,由韦达定理得,,于是,.

显然,椭圆的半短轴长,半焦距,则半长轴,而椭圆的中心为,即.

所以椭圆的普通方程为.

2021-11-26-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P023 例3）

已知实系数方程有一个模为的虚根.求的值,并解此方程.

分析与解

因为,由虚根成对原理,可知有一个实根和两个模长的虚根,它们互为共轭,设这三个根为,, ,则

由韦达定理,

经整理得

所以,,可得或.

再求解方程知:当时,方程的解为,,;当时,的解为,,.

注利用虚根成对是本题的关键.

2021-11-26-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P024 例4）

设、是复数,若关于的方程的两根的模相等,求证:是实数.

分析与解

从韦达定理着手,建立、与方程根的联系.

设方程的两根是、,则

根据题设,有,即,有,所以.

因为,所以,于是.

故,证毕.