C语言高精度大数除法的算法实现（附有实战案例）

一、引言

在C语言解决问题的过程中，我们常常会遇到一些问题需要进行大数处理。

这里定义的大数为位数达到几百位的整数。

通常做法是将大数转化为一维数组，再进行四则运算。

在四则运算中，除法的高效率实现最为困难。

本文即是针对这种高精度大数除法问题给出模板化的解答。

二、算法实现

（1）数据读入

首先，我们的思路是将大数转化为一维数组存储起来。但是，直接读入数组的话会产生一个问题。比如我们定义一个数组arr[1000]，直接读入的话，大数的最高位会储存在下标为零的数组空间内，也就是arr[0]。这不符合我们对数字的自然逻辑，也会对之后的处理带来困难。所以在以下所涉及到的数字中，包括被除数、除数、商、余数这四个数，我们都采用反向读入的方式，也就是将个位储存在arr[0]中，将十位储存在arr[1]中，依次类推。

先定义数组

char beiChuShuStr[1004] = { 0 };
char chuShuStr[1004] = { 0 };
int beiChuShu[1004] = { 0 };
int chuShu[1004] = { 0 };
int shang[1004] = { 0 };
int yuShu[1004] = { 0 };

这里为什么多定义了两个字符串数组呢？

因为我们的处理思路是先将大数以字符串的形式读入，再进行反向赋值给数字数组

具体实现如下：

scanf("%s", beiChuShuStr);
scanf("%s", chuShuStr);
int len1 = strlen(beiChuShuStr);
int len2 = strlen(chuShuStr);
for (int i = 0; i < len1; i++) {//将字符串数组输入整形数组，调整顺序使得下标为零的元素
	beiChuShu[i] = beiChuShuStr[len1 - 1 - i] - '0';//对应个位，下标为一的元素对应十位
}
for (int i = 0; i < len2; i++) {
	chuShu[i] = chuShuStr[len2 - 1 - i] - '0';
}

如此以来我们的大数就成功储存了

同学们可以学习一下字符转化为数字的方法，只要减去‘0’就可以了。

完成了数据的读入，现在来确定算法的具体实现方式。

一种很简单的想法是，除法本身是许多个减法的叠加，那你只要令被除数不断减去除数，直到不能减不就好了吗？然而，这种思路的效率很低，因为如果被除数的位数是几百位，除数的位数是几十位，相除之后的商大概率也是几百位。相当于电脑要进行10的几百次方的运算，效率是很低下的。

让我们回归淳朴，来看看最开始手算除法是用什么方式呢？

答案是竖式除法。

（2）判断是否被除数的前lb位是否可以与除数相减

    竖式除法很重要的一步是，判断当前被除数的前lb位能否与除数相减，其中lb是除数的长度。对吧，尤其是对于几百位的大数而言，这个判断要进行几百次，所以，我们封装一个函数用来执行这个判断。

bool ability_to_subtraction(int a[], int b[], int last_weishu, int lb) {
	if (a[last_weishu + lb] != 0)return true;
	for (int i = lb; i > 0; i--) {
		if (a[last_weishu + i - 1] > b[i - 1])return true;
		if (a[last_weishu + i - 1] < b[i - 1])return false;
	}
	return true;
}

博主英语不好，只能想到这么一个函数名。意思是减法的能力。

传入的last_weishu这样一个参数，大小为la-lb，用来描述被除数的前lb位中，最小一位的位置。

这个语句意思是，如果取到的被除数长度比除数大，那么一定可以相减；

if (a[last_weishu + lb] != 0)return true;

这个语句的意思是从最大位开始判断，遇到被除数的该位数字大于除数的情况就可以相减，被除数的该位数字小于除数的就不可相减；

	for (int i = lb; i > 0; i--) {
		if (a[last_weishu + i - 1] > b[i - 1])return true;
		if (a[last_weishu + i - 1] < b[i - 1])return false;
	}

最后一个语句return true意思是，如果被除数取出的每一位都和除数对应的那个位子上的数字相等，也可以相减，结果为零嘛。

（3）将处理后的新的被除数重复相减操作

for (int i = 0; i < la; i++) {//保护被除数不改变，通过对余数进行改变最后得出结果
	yuShu[i] = beiChuShu[i];
}
for (int i = la - lb; i >= 0; i--) {
	while (ability_to_subtraction(yuShu, chuShu, i, lb)) {
		for (int j = 0; j < lb; j++) {
			yuShu[i + j] -= chuShu[j];
			if (yuShu[i + j] < 0) {
				yuShu[i + j] += 10;
				yuShu[i + j + 1] -= 1;
			}
		}
		shang[i]++;
	}
}

最后输出结果

	for (lc = 1004; lc >= 0; lc--)
		if (yuShu[lc - 1] != 0)break;
	for (ld = 1004; ld >= 0; ld--)
		if (shang[ld - 1] != 0)break;
	for (int i = 0; i < lc; i++) {
		printf("%d", yuShu[i]);
	}
	printf("\n");
	for (int i = 0; i < ld; i++) {
		printf("%d", shang[i]);
	}

三、实战案例

光棍数

这里所谓的“光棍”，并不是指单身汪啦~ 说的是全部由1组成的数字，比如1、11、111、1111等。传说任何一个光棍都能被一个不以5结尾的奇数整除。比如，111111就可以被13整除。 现在，你的程序要读入一个整数x，这个整数一定是奇数并且不以5结尾。然后，经过计算，输出两个数字：第一个数字s，表示x乘以s是一个光棍，第二个数字n是这个光棍的位数。这样的解当然不是唯一的,题目要求你输出最小的解。

提示：一个显然的办法是逐渐增加光棍的位数，直到可以整除x为止。但难点在于，s可能是个非常大的数 —— 比如，程序输入31，那么就输出3584229390681和15，因为31乘以3584229390681的结果是111111111111111，一共15个1。

输入格式：

输入在一行中给出一个不以5结尾的正奇数x（<1000）。

输出格式：

在一行中输出相应的最小的s和n，其间以1个空格分隔。

输入样例：

31

输出样例：

3584229390681 15

这道题目因为明显涉及到大数，所以我们可以直接借鉴高精度大数除法。

同学们可以自己尝试一下，附有参考代码。

#include
#include
int ability_to_subtraction(int a[], int b[], int last_weishu, int lb) {
	if (a[last_weishu + lb] != 0)return 1;
	for (int i = lb; i > 0; i--) {
		if (a[last_weishu + i - 1] > b[i - 1])return 1;
		if (a[last_weishu + i - 1] < b[i - 1])return 0;
	}
	return 1;
}
int main() {
	char N[4] = { 0 };
	int n;
	int flag = 0;
	int yuShu[1002] = { 0 };
	int chuShu[4] = { 0 };
	int shang[1002] = { 0 };
	scanf("%s", &N);
	int lb = strlen(N);
	int ld;
	for (int i = 0; i < lb; i++) {
		chuShu[i] = N[lb - 1 - i] - '0';
	}
	//for (lb = 3; lb >= 0; lb--)
	//	if (chuShu[lb-1] != 0)break;
	for (n = 1; n < 1000 && !flag; n++) {
		flag = 1;
		memset(yuShu, 0, sizeof(yuShu));
		memset(shang, 0, sizeof(shang));
		for (int i = 0; i < n; i++) {//生成光棍数
			yuShu[i] = 1;
		}
		for (int i = n - lb; i >= 0; i--) {
			while (ability_to_subtraction(yuShu, chuShu, i, lb)) {
				for (int j = 0; j < lb; j++) {
					yuShu[i + j] -= chuShu[j];
					if (yuShu[i + j] < 0) {
						yuShu[i + j] += 10;
						yuShu[i + j + 1] -= 1;
					}
				}
				shang[i]++;
			}
		}
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			if (yuShu[i] != 0)flag = 0;
		}
	}
	if (flag) {
		for (ld = 1002; ld >= 0; ld--)
			if (shang[ld - 1] != 0)break;
		for (int i = ld - 1; i >= 0; i--) {
			printf("%d", shang[i]);
		}
		printf(" %d", n-1);
	}
	return 0;
}