【动态规划】基础DP--硬币组合

动态规划（Dynamic Programming，DP）一般是多阶段决策问题，把一个复杂问题分解为相对简单的子问题，再一一解决，得到原复杂问题的最优解。

求解DP问题的步骤：定义状态、状态转移、算法实现。

DP问题可以分为线性和非线性的。

线性DP。线性DP有两种方法：顺推与逆推。在线性DP中，常常用“表格”来处理状态，用表格这种图形化工具可以清晰易懂地演示推导过程。

非线性DP。例如：树形DP，建立在树上，也有两个方向：1）根->叶，根传递有用的信息给子节点，最后根得出最优解。2）叶->根，根的子节点传递有用的信息给根，最后根得出最优解。

最少硬币问题

有n种硬币，面值为v1，v2，...，vn，数量无限。输入非负整数s，选用硬币，使其和为s。要求输出最少的硬币组合。

解决：定义一个数组 int Min[MONEY],其中Min[i]是金额j对应的最少硬币数量。

初始值Min[0]（即总金额为0时）需要0个硬币

金额为1时，Min[1]=Min[0]+1=Min[1-1]+1;

金额为2时，Min[2]=Min[1]+1=Min[2-1]+1;.......

金额为5时，Min[5]=Min[5-5]+1;// 有五元的面值，总金额减5，加1个（五元）硬币

金额为6时，Min[6]=Min[6-5]+1;..........

递推式：Min[i]=min(Min[i],Min[i-type[j]]+1;

（为什么是Min[i]?因为一开始总金额先（取）减type[0]的面额，得到Min[i]；然后再（取）减type[1]面额，以此类推，比较之后，才取最少硬币数量）

#include 
using namespace std;

const int MONEY = 251;//定义最大金额
const int VALUE = 5;//5种硬币
int type[VALUE] = { 1,5,10,50,100 };//5种面值
int Min[MONEY];//每个金额对应最少的硬币数量

void minCoin() {
	for (int i = 0; i < MONEY; i++) {
		Min[i] = INT_MAX;//初始值为无穷大
	}
	Min[0] = 0;
	for (int i = 0; i < VALUE; i++) {
		for (int j = type[i]; j < MONEY; j++) {
			Min[j] = min(Min[j], Min[j - type[i]] + 1);//递推式
		}
	}
}

int main()
{
	int m = 0;
	cin >> m;
	minCoin();
	cout << Min[m] << endl;
	return 0;
}

打印最少硬币的组合

在最少硬币问题中，增加一个记录表minPath[i],记录金额 j 需要的最后一个硬币，利用minPath倒推，就能得到所有的硬币。

#include 
using namespace std;

const int MONEY = 251;//定义最大金额
const int VALUE = 5;//5种硬币
int type[VALUE] = { 1,5,10,50,100 };//5种面值
int Min[MONEY];//每个金额对应最少的硬币数量

int minPath[MONEY] = { 0 };//记录最小硬币的路径

void minCoin() {
	for (int i = 0; i < MONEY; i++) {
		Min[i] = INT_MAX;//初始值为无穷大
	}
	Min[0] = 0;
	for (int i = 0; i < VALUE; i++) {
		for (int j = type[i]; j < MONEY; j++) {
			if (Min[j] > Min[j - type[i]] + 1) {
				minPath[j] = type[i];//记录
				Min[j] = Min[j - type[i]] + 1;//递推式
			}
		}
	}
}

//打印硬币组合
void printCoin(int* minPath, int s) {
	while (s) {
		cout << minPath[s] << ' ';
		s = s - minPath[s];
	}
}

int main()
{
	int m = 0;
	cin >> m;
	minCoin();
	cout << Min[m] << endl;
	printCoin(minPath, m);
	return 0;
}

所有硬币组合数1

有n种硬币，面值为v1，v2，...，vn，数量无限。输入非负整数s，选用硬币，使其和为s。要求输出可能的硬币组合。

计算所有硬币组合数：

初始状态：金额为0，组合数为0

金额为i时，dp[i]=dp[i-type[0]]+dp[i-type[1]]+dp[i-type[2]]....

金额为i，可以是dp[i-1]加1个1元硬币，dp[i-5]加1个5元硬币.......

注：没有考虑硬币数量的限制。

代码如下：

#include 
using namespace std;

const int MONEY = 251;//定义最大金额
const int VALUE = 5;//5种硬币
int type[VALUE] = { 1,5,10,50,100 };//5种面值
int dp[MONEY] = { 0 };//每种金额对应的组合数

void countCoin() {
	dp[0] = 1;
	for (int i = 0; i < VALUE; i++) {
		for (int j = type[i]; j < MONEY; j++) {
			dp[j] = dp[j] + dp[j - type[i]];
		}
	}
}

int main()
{
	int m = 0;
	cin >> m;
	countCoin();
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}

所有硬币组合数1

有5种面值的硬币，即1、5、10、25、50。输入一个钱数s，输出组合方案的数量。s<=250; num<=100。

dpcoin[i][j]是用j个硬币实现金额i的方案数量。利用dpcoin[i][j]可以找到某金额对应的最少和最多硬币数量。

状态转移方程式：dpcoin[k][j] += dpcoin[k - type[i]][j - 1];

#include 
using namespace std;

const int MONEY = 251;//定义最大金额
const int VALUE = 5;//5种硬币
int type[VALUE] = { 1,5,10,25,50 };//5种面值

//考虑硬币的数目num
const int COIN = 101;//不超过100个硬币
int dpcoin[MONEY][COIN] = {0};//DP转移矩阵
int CoinCombination(int s) {
	dpcoin[0][0] = 1;
	for (int i = 0; i < VALUE; i++) {
		for (int j = 1; j < COIN; j++) {
			for (int k = type[i]; k < MONEY; k++)
				dpcoin[k][j] += dpcoin[k - type[i]][j - 1];
		}
	}
	int ans[MONEY] = { 0 };
	for (int i = 0; i < MONEY; i++)
		for (int j = 0; j < COIN; j++)
			ans[i] += dpcoin[i][j];//对每个金额计算组合方案数目
	return ans[s];
}

int main()
{
	int m = 0;
	cin >> m;
	cout << CoinCombination(m) << endl;
	return 0;
}