2-同态隐藏Homomorphic Hidings

同态隐藏Homomorphic Hidings

2019.12.06 胡振远

我们采用逐步递进的方式来解决问题，首先我们假设Bob把告诉Alice，那么问题的描述流程如下。

Alice->Bob: P(x)
Bob->Alice: s
Alice->Alice: 验证P(s)=0

现在我们需要把隐藏起来，我们引入同态隐藏函数HH：。

同态隐藏函数

同态隐藏函数是如下形式的定义：

1. 对于一个确定的，很难推算
2. 如果，那么
3. 已知和，可以计算和的算术表达式的函数值，例如可以从和计算

下面我们用一定的篇幅举例说明同态隐藏函数。

设，各为一个整数，表示取模操作，用表示除以后的余数。例如，，我们一般用另外一种形式来描述，，。我们还可以对定义基于模的加法操作，例如。我们可以把以及这个加法操作定义为一个整数群

对于一个质数，我们还可以定义基于模的乘法操作，例如。我们可以生成一个新的群，它具有以下性质：

1. 它是一个循环群，意味着这里有一个属于的元素，称之为生成元，能使得群里所有的元素都能被写成的形式，其中是属于，特别的，当时，
2. 通过离散对数问题，我们知道，在中，如果是一个非常大的值，那么对于一个给定的元素，很难找到一个范围内的整数满足
3. 里的元素相乘，即把元素的指数相加然后，例如对于，至于这里为什么是，需要参阅费马小定理，以及充分的理解

现在我们可以构建一个同态隐藏函数HH，并且支持加法操作。这意味着我们可以从和计算。我们假设的输入是中的一个元素，范围是。现在我们定义，满足同态隐藏函数的形式定义。并且对于一个给定的和，

我们现在举例，设，，在下的计算

，

，

，

，

，

，

因此得到验证。

这里的举例的同态隐藏可以有这样的用处：假设我们不知道的值分别是多少，但是如有结果表明，我们就能确信

需要注意的是，在这里举例的同态隐藏是用素数同余类群进行的示范，实际应用中是采用的椭圆曲线，选择的，是椭圆曲线上的生成元。