正交规范化、正交矩阵

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正交规范化、正交矩阵

 内积

施密特正交化

正交矩阵

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正交规范化、正交矩阵

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正交规范化是一组向量，它们不仅线性无关，而且它们的长度都为1，并且它们之间的夹角都是直角。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量是一组正交规范化的向量。也就是说，正交矩阵的列向量不仅线性无关，而且它们的长度都为1，并且它们之间的夹角都是直角。
因此，正交矩阵具有以下性质：
1. 正交矩阵的列向量是一组正交规范化的向量。
2. 正交矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵。
3. 正交矩阵的行向量也是一组正交规范化的向量。
4. 正交矩阵的行列式为+1或-1。
5. 正交矩阵不会改变向量的长度，只会改变向量的方向。
因此，正交矩阵在向量空间中具有重要的应用，例如旋转、反射和投影等操作。

 内积

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内积（Inner Product）是向量空间中的一种运算，用于定义向量之间的夹角和长度。

设 $V$ 是一个向量空间，函数 $\langle\cdot,\cdot\rangle: V\times V\to \mathbb{F}$ 称为 $V$ 上的一个内积，如果它满足以下性质：

1. 对称性：对任意的 $\alpha,\beta\in V$，有 $\langle\alpha,\beta\rangle = \langle\beta,\alpha\rangle$。
2. 对第一变元的线性性：对任意的 $\alpha,\beta,\gamma\in V$ 和任意的 $k\in\mathbb{F}$，有：
    1. $\langle\alpha+\beta,\gamma\rangle = \langle\alpha,\gamma\rangle + \langle\beta,\gamma\rangle$。
    2. $\langle k\alpha,\beta\rangle = k\langle\alpha,\beta\rangle$。
3. 正定性：对任意的 $\alpha\in V$，有 $\langle\alpha,\alpha\rangle \geq 0$，并且 $\langle\alpha,\alpha\rangle = 0$ 当且仅当 $\alpha=0$。

内积空间（Inner Product Space）是指配备了内积的向量空间。完备的内积空间称为希尔伯特空间（Hilbert Space）。

施密特正交化

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施密特正交化（Schmidt Orthogonalization）是一种线性代数中的方法，用于将一组线性无关的向量正交化，即将其转换为一组正交的单位向量。这种方法以埃里克·施密特（Eric Schmidt）的名字命名。

施密特正交化的过程如下：

1. 首先，选择一个向量作为第一个正交向量，通常选择第一个向量。
2. 接着，从第二个向量开始，将每个向量投影到前面所有正交向量的正交补空间上，也就是从每个向量中减去在前面正交向量上的投影。这个过程称为去相关（decorrelation）。
3. 然后，将去相关后的向量单位化，得到一组正交的单位向量。

施密特正交化的重要性在于，它可以将一组线性无关的向量转换为正交向量组，这在许多数学和工程应用中非常有用。例如，在数值分析和线性代数中，正交向量组可以有效地表示和计算向量空间中的元素。在信号处理、图像处理、机器学习等领域中，施密特正交化也有广泛的应用。

正交矩阵

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正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量是一组正交规范化的向量。
设A是一个n阶正交矩阵，则它有以下性质：
1. A的列向量是一组正交规范化的向量，即它们的长度都为1，并且它们之间的夹角都是直角。
2. A的转置矩阵等于它的逆矩阵，即A^T = A^(-1)。
3. A的行向量也是一组正交规范化的向量。
4. A的行列式为+1或-1。
5. A不会改变向量的长度，只会改变向量的方向。
因此，正交矩阵在向量空间中具有重要的应用，例如旋转、反射和投影等操作。