矩阵分析：特征值，相似度对角化，Jordan标准形

1，特征值与特征向量

1.1，特征值与特征向量的概念

设 ，如果存在常数  和非零的  维列向量 ，使得：

则称  为  的特征值， 为  的对应于 的特征向量。

• 特征向量为非零向量。
• 特征向量与特征值是成对出现的，一个特征值可对应多个特征向量，反之不然。

将上式移项：

 有非零解 

这是  个未知数  个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 。

• ，称  为的特征矩阵。
• 称  为矩阵的特征多项式。
• 称  为矩阵的特征方程。
•  的特征值就是 的特征方程的根。
•  阶方阵 在复数范围内一定有 个特征值。

1.2，特征值和特征向量求法,

（1）求  的  个根 ，它们即为  的全部特征值。

（2）求解齐次线性方程组 ，其非零解向量即为的对应特征值  的特征向量。

【例1】设 ，求的特征值与特征向量。

【解】因为  的特征多项式为：

所以的特征值为：

当  时，解方程组 。由：

得基础解析：

所以对应  的全部特征向量为 ，其中  不同时为0。

当  时，解方程组 。由：

得基础解析：，故对应  的全部特征向量为 。

【例2】设 ，求的特征值与特征向量。

因为 的特征多项式为：

 所以的特征值为：

得基础解析：，故对应  的全部特征向量为 。

结论：特征值的线性无关的特征向量个数不超过特征值（特征方程的根）的重数。

1.3，特征值与特征向量性质

代数重数和几何重数

将  表示成不互相同的一次因子方幂乘积的型式：

则称  为 的特征值  的代数重数（简称重数）。

的特征值的特征空间：，称  为的特征值的几何重数，表示属于的特征值  的线性无关的特征向量的个数。

设  是 的  重特征值，对应  有  个线性无关的特征向量，则 。

矩阵多项式

设  是  的多项式：，对于，规定：，称  为矩阵的多项式。

设，的  个特征值为： 对应的特征向量为 ，又设  为一多项式，则：

即  的特征值为 ，对应的特征向量仍为 。特别的，若 ，则所有 。

线性无关

设  是方阵的互不相同的特征值， 是分别与之对应的特征向量，则  线性无关。

设 是方阵的互不相同的特征值，  是对应特征值  的线性无关的特征向量，则向量组  也线性无关。

设  阶方阵  的特征值为 ，则：

• 的特征值仍为 ，而 的特征值为 
• 设 ，则0是的特征值 

设 ，称  为 的迹（trace），记为 ，即。

设 ，则 。

PS： 不一定等于 ，但是它们的对角线元素之和一定相等。

2，相似对角化

2.1，相似的概念与性质

给定复数域  上的 维线性空间 ，考虑上的线性变换 ，给定的两组基

两组基之间的过渡矩阵记为 ，可得

进而

进一步

设 ，若存在可逆矩阵  使得 

则称  与  相似，记 。

设 ，则

• 自反性：
• 对称性：
• 传递性：

设 ，， 是一多项式，则：

• ，即  与  有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

PS：上述四个结论都是矩阵相似的必要而非充分条件。

【例3】

证明（3）

 存在可逆矩阵  使得 ，因此

2.2，相似对角化的判定

对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵、特征值都比较方便。

设 ，若  与一对角矩阵相似，则称  可对角化。

 可对角化  当且仅当存在 ，使得 。

 ，令 ， 可逆。

 

 

  是 的  个特征值， 是对应的特征向量， 线性无关。

 有  个线性无关的特征向量。

即：设，则  可对角化的充要条件是有  个线性无关的特征向量。

推论1：设  是  的所有互异的特征值，其重数分别为 。若  的几何重数分别为 ，则可对角化。（  对应  有  个线性无关的特征向量）

推论2：设 ，如果有个不同的特征值，则 可对角化。

PS1：矩阵  可相似对角化  的每个相异特征值的几何重数等于代数重数  的相异特征值的几何重数之和等于 。

PS2：当  存在某个特征值，使得其几何重数小于代数重数时，则矩阵不能对角化，比如：。

【例4】判断下列矩阵是否可对角化，如果是，求相似变换矩阵  和相应的对角矩阵。

对于单重特征值 ，几何重数=代数重数=1。

因此只需要考虑多重特征值的情形：

因此 ，故对应  重特征值  的特征空间的维数为 ，即特征值的几何重数<代数重数，因此矩阵 不可对角化。

因为 ，所以  的  个特征值分别为

由于 有 个互异的特征值，故可对角化。

 对应的特征方程为 

可得  所对应的一个特征向量为 

类似可求得  所对应的特征向量分别为：

令 ，则有 

2.3，相似对角化的应用

【例5】，求 

可求得对应  的一个特征向量分别为：

令 ，

于是 

【例6】求解 ，其中 ，

由于 

可求得对应  的一个特征向量为：

令 ，则有 

进而 

故Fibonacci数列的通项 

【例7】求解一阶常系数微分方程组 

分析问题的解是 

其中  为对应于  的特征向量， 为任意常数。

把微分方程组改写为矩阵形式：

其中 

令 

其一般解为：

再由，求得原微分方程组的一般解为：

3，Jordan标准型

3.1，Jordan标准型的概念与性质

Jordan标准型是为解决不能相似对角化的问题而引入的。

形如  的矩阵称为特征值  对应的  阶的  块。有若干个   块构成的分块对角矩阵：

，称为矩阵。

• 矩阵与对角矩阵的差异：仅在于它的上对角线（与对角线平行的上面的一个对角线）元素是  或 ，它是一个特殊的上三角矩阵。
•  块本身就是一个 矩阵。
• 当  时，  块  不可对角化。
• 对角矩阵是一个  矩阵，它的每个  块都是 阶的   的初等因子都是  次的。

•  矩阵中不同  块对应的特征值可能相同。

•  块还有下三角的形式。

，分别是  阶的 矩阵。

 是一个6阶的  矩阵。

 定理：设 ，则  与一个 矩阵  相似，即存在可逆矩阵 ，使得：

且这个  矩阵除块的排列次序外由唯一确定，此时也称  为矩阵  的 分解。

• 矩阵不一定可以相似对角化，但一定可以与矩阵相似。
• 因为相似矩阵有相同的特征值，所以标准型的对角线元素  就是矩阵的特征值。
• 在 标准型中，不同  块的对角线元素可能相同，因此特征值  的代数重数  对应的某个  块的阶数。

3.2，Jordan标准型求法

特征向量法：设 

（1）如果  是 的单重特征值，则对应于  阶  块 ；

（2）如果 是 的  重特征值，若 ，则对应  就有  个以 为对角元的 块，且这些 块的阶数之和等于 ；

（3）由的所有相异特征值对应的 块构成矩阵即为  的标准型。

优点：计算简单，并且由已经求得的特征向量可以求得相似变换矩阵。

缺点：当矩阵的某个特征值重数较高时，对应的块阶数可能无法确定。

【例8】求下列矩阵的 标准型

已求得的特征值为 ，对应  重特征值  只有一个线性无关的特征向量，故  的  标准型为：

已求得的特征值为 ，对应的线性无关特征向量为 

故 的标准型为：

初等变换法：设 ，其中  都是  的多项式，则称  为 矩阵或多项式矩阵。对 矩阵  进行的如下三种变换称为  矩阵的初等行（列）变换：

• 交换  的两行（列）： 或 
•  的某一行（列）乘以一个非零常数 ： 或 
•  的某一行（列）同时乘以多项式  加到另外一行（列）： 或  

注：对 的矩阵同样可以定义秩的概念，且在初等变换下 矩阵的秩不变。

相抵（等价关系）：设 ， 都是  矩阵，且 经过初等变换后变为，则称矩阵与 相抵。

引理：设  是非零矩阵，则矩阵 必须相抵与这样一个  矩阵 ，其中 ，且  可以整除 中的任意元素。

 标准形：设 ，则  经过一系列初等变换可化为如下 标准形

其中， 是首  多项式（即最高项系数为  的多项式），，且  。 其中  为矩阵  的不变因子。

 标准形的两个特点：

• 设对角线元素从上到下次数逐次升高。
• 保持整除性。

 标准形的实现途径：初等变换+多项式除法。

【例9】求下列矩阵的  标准形

设  ：

（1）对矩阵  实施初等变换变成  标准形 ，求出  的不变因子：。

（2）将  的次数  的不变因子  分解为一次因式方幂的乘积，这些一次因子的方幂称为  的初等因子：。

（3）写出每个初等因子  对应的  块 ，，由这些 块构成  的  标准形：

【例10】求矩阵的  的标准形

因此  的不变因子为：

从而  的初等因子为：

对应的 块为：

故矩阵 的 标准形为：

【问题】 为什么能用初等变换法求矩阵的 标准形？

（1） 对应的  阶的 块： 

初等因子为：

（2）设方阵  为分块对角矩阵 ，则  的初等因子全体就是  的全部初等因子。

（3）两个同阶方阵  和  相似   与  相抵   与  有相同的初等因子或不变因子。

行列式因子法：

设， 的所有  阶子式的首  最大公因式  称为  的  阶行列式因子，。

行列式因子与不变因子：设 ， 是  的  阶行列式因子， 是  的不变因子，，则

设 

• 求出矩阵  的  个行列式因子： 。
• 由公式  ，求出  的不变因子。
• 求出 的初等因子和  标准形。

【例11】求矩阵  的  标准形

 的  阶行列式因子为 

 的  阶子式：

 的  阶行列式因子为 

 的  阶行列式因子为 

因此  的不变因子为：

故 的  标准形：

【例12】求矩阵  的  标准形

 的三阶子式如下：

因为  整除每个  阶子式，所以 ，从而 

由于 ，因此  的不变因子为：

从而  的初等因子为：

对应的 块为：

故矩阵  的标准形为：

3.3，Jordan标准型的应用

【例13】求矩阵  的 标准形及所使用的相似变换矩阵

可求得  的  标准形为：

设相似变换矩阵 ，由 ，即  得：

，即

解线性方程组 ，即

所以，

【例14】求矩阵  的 标准形及所使用的相似变换矩阵

求得  的  标准形为：

设相似变换矩阵 ，则由 ，即  得：

因此  是对应特征值  的李你哥哥线性无关的特征向量，而对应特征值  的广义特征向量  由求解非齐次线性方程组  得到：

可以求得特征值 所对应的两个线性无关的特征向量为：

可取 ，则  无解。

为了是的该方程有解，需要重新选择 ，设 

因此，当  时  的解向量 ，故所有的相似变换矩阵为：

 标准形的幂

对于  阶  块  ，有 

其中 

对于  矩阵 ，有 

设 ，则由 分解定理知存在可逆矩阵  使得

，即 

从而 

【例15】设 ，求 

可求得 ，

故 

【例16】求解以及诶线性常系数微分方程组 

把微分方程改写为矩阵形式 

其中 ，，

令 ，这里

从而 

进一步可求得 

代入第  个方程得 

进一步求解 

由  求得原微分方程组的一般解为