由麦克斯韦方程组推出均匀平面电磁波及其特征
由麦克斯韦方程组推出均匀平面电磁波及其特征
均匀平面电磁波是指在传输方向垂直与传输方向垂直的平面上，电磁波的每一点的电场和磁场都相同，这种电磁波被称作均匀平面电磁波。
研究任何一种物理现象，当一种物理现象特别复杂的时候，人们通常无从着手。但是如果这种物理现象是线性可叠加的，那么我们就可以从最简单的物理现象着手，研究它的规律，然后将这种最简单的物理现象经过线性叠加就可以获得任意一种物理现象的规律他的理论基础是弗里叶变换
一. 均匀平面电磁波的数学表示
如下图所示，假设均匀平面电磁波沿着 x x x轴传播，则在任意 y O z yOz yOz平面上，电磁波电场强度的方向和大小都相同，即电场强度只与 x , t x, t x,t有关，而与 y , z y, z y,z无关，电场强度可表示为
E ⃗ ( x , t ) = E x ( x , t ) i ⃗ + E y ( x , t ) j ⃗ + E z ( x , t ) k ⃗ \begin{align} \vec E(x, t) = E_x(x,t) \vec i +E_y(x,t) \vec j+E_z(x,t) \vec k \end{align} E(x,t)=Ex(x,t)i+Ey(x,t)j+Ez(x,t)k
同样磁场强度的方向和大小都相同，即磁场强度只与 x , t x, t x,t有关，而与 y , z y, z y,z无关，磁场强度可表示为 H ⃗ ( x , t ) \vec H(x, t) H(x,t)
H ⃗ ( x , t ) = H x ( x , t ) i ⃗ + H y ( x , t ) j ⃗ + H z ( x , t ) k ⃗ \begin{align} \vec H(x, t) = H_x(x,t) \vec i +H_y(x,t) \vec j+H_z(x,t) \vec k \end{align} H(x,t)=Hx(x,t)i+Hy(x,t)j+Hz(x,t)k
二. 均匀平面电磁波的麦克斯韦方程组
[ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z H x H y H z ] = ( ε ∂ ∂ t + γ ) ( E x i ⃗ + E y j ⃗ + E z k ⃗ ) [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y E z ] = − μ ∂ ∂ t ( H x i ⃗ + H y j ⃗ + H z k ⃗ ) ∇ ⋅ ( E x i ⃗ + E y j ⃗ + E z k ⃗ ) = 0 ∇ ⋅ ( H x i ⃗ + H y j ⃗ + H z k ⃗ ) = 0 \begin{align} \begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ H_x &H_y&H_z \end{bmatrix} &= (\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}+\gamma)(E_x \vec i +E_y \vec j+E_z \vec k)\\ \begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x &E_y&E_z \end{bmatrix} &= -\mu\frac{\partial }{\partial t}(H_x \vec i +H_y \vec j+H_z \vec k)\\ \nabla \cdotp (E_x \vec i +E_y \vec j+E_z \vec k) &=0\\ \nabla \cdotp (H_x \vec i +H_y \vec j+H_z \vec k) &=0\\ \end{align} i∂x∂Hxj∂y∂Hyk∂z∂Hz i∂x∂Exj∂y∂Eyk∂z∂Ez ∇⋅(Exi+Eyj+Ezk)∇⋅(Hxi+Hyj+Hzk)=(ε∂t∂+γ)(Exi+Eyj+Ezk)=−μ∂t∂(Hxi+Hyj+Hzk)=0=0
三. 将方程组中的向量展开
将（3）的各个分量展开，注意 H x , H y , H z , E x , E y , E z H_x, H_y, H_z, E_x, E_y, E_z Hx,Hy,Hz,Ex,Ey,Ez是 x , t x,t x,t的函数，与 y , z y,z y,z无关
0 = ( ε ∂ ∂ t + γ ) E x − ∂ ∂ x H z = ( ε ∂ ∂ t + γ ) E y ∂ ∂ x H y = ( ε ∂ ∂ t + γ ) E z \begin{align} 0 &= (\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}+\gamma)E_x \\ -\frac{\partial}{\partial x} H_z&= (\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}+\gamma)E_y \\ \frac{\partial}{\partial x} H_y&= (\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}+\gamma)E_z \\ \end{align} 0−∂x∂Hz∂x∂Hy=(ε∂t∂+γ)Ex=(ε∂t∂+γ)Ey=(ε∂t∂+γ)Ez
将（4）的各个分量展开，
0 = − μ ∂ ∂ t H x − ∂ ∂ x E z = − μ ∂ ∂ t H y ∂ ∂ x E y = − μ ∂ ∂ t H z \begin{align} 0 &= -\mu\frac{\partial }{\partial t}H_x \\ -\frac{\partial}{\partial x} E_z&= -\mu\frac{\partial }{\partial t}H_y \\ \frac{\partial}{\partial x} E_y&= -\mu\frac{\partial }{\partial t}H_z \\ \end{align} 0−∂x∂Ez∂x∂Ey=−μ∂t∂Hx=−μ∂t∂Hy=−μ∂t∂Hz
四. 根据展开式对均匀平面电磁波的分析
1. 均匀平面电磁波是横电磁波.
（7）式是个一阶微分方程，其解为 E x = E 0 e − γ ε t E_x=E_0\textrm e^{-\frac{\gamma}{\varepsilon}t} Ex=E0e−εγt
其中， E 0 E_0 E0为常数，由于时间常数 γ ε \frac{\gamma}{\varepsilon} εγ是很大的数， E x E_x Ex很快衰减到0， 因此电场强度在电磁波传播方向上为0.
由（10）式 H x H_x Hx是个与时间无关的常量，电磁波中为0.
因此，均匀平面电磁波的电场强度和磁场强度在传播方向上为0. 尽在与传播方向垂直的平面上有分量，因此，是横电磁波（Transverse ElectroMagnetic waves, TEM）
2. 均匀平面电磁波的电场分量与磁场分量正交.
根据（8），如果 H z H_z Hz为0， 则 E y E_y Ey也为0.
根据（9），如果 H y H_y Hy为0， 则 E z E_z Ez也为0.
根据（10），如果 E z E_z Ez为0， 则 H y H_y Hy也为0.
根据（11），如果 E y E_y Ey为0， 则 H z H_z Hz也为0.
说明电场强度和磁场强度存在正交的关系，即二者方向上相互垂直.