算术整除——扩散型dp

题目描述

给定长度为 $n$ 的整数序列和 $k$，要求在相邻的两个数字之间插入加(‘$+$’)或减(‘$-$’)操作符（不能改变顺序），使得算术结果是k的整数倍。

例如序列为：$17,5,-21,15,k=7$，那么 $17+5+(-21)-15=-14$ 是 $7$ 的整数倍。

分析

考虑 dp。

设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数能否凑出 $j$，可以就为 $1$，否则为 $0$，如果 $d{p}_{i,j}$ 可行，则 $d{p}_{i+1,(j+a_i)\%k}$ 也行（这里 $\%$ 表示取模），同理 $d{p}_{i+1,(j-a_i+k)\%k}$ 也可行（这里加 $k$ 是为了防负数）。

初始状态为 $d{p}_{0,0}$ 为可行，因为前 $0$ 个数可以凑出 $0$。

答案就是 $d{p}_{n,0}$。

考试时往收集型 dp 想了，写了好久

代码

#include 

using namespace std;

const int N = 10005;
int n, k, a[N], dp[N][1005];

int main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		cin >> a[i];
		a[i] = (a[i] + k) % k;
	}
	dp[0][0] = 1;
	for(int i = 0; i < n; i ++){//枚举已有状态，去推出未知状态
		for(int j = 0; j < k; j ++){//因为取模过了所以不可能大于k
			if(dp[i][j]){
				dp[i + 1][(j + a[i + 1]) % k] = 1;
				dp[i + 1][(j - a[i + 1] + k) % k] = 1;
			}
		}
	}
	if(dp[n][0]){
		cout << "Divisible"; 
	}else{
		cout << "Not divisible\n";
	}
	return 0;
}