射影几何与度量几何（四+）

回到射影几何刻划双曲度量几何，在射影平面上考虑一个任意的、实的、非退化的二次曲线（绝对形），使这个二次曲线不变的（但不要求线上的点不变）的射影群子群称为双曲度量群，相应几何称为双曲度量几何。其中的不变量是与迭合有关的那些量。
单重椭圆几何对应的射影变换子群是使射影平面上一个确定的虚椭圆（绝对形）不变，椭圆几何平面是实射影平面，且其不变量是与迭合有关的那些量。
即使二重椭圆几何也能包括在这种变换观点之内，从三维变换群出发刻划二维的度量几何，变换的子群使空间有限部分的一个定球（曲面）S变换到自身，球面S就是二重椭圆几何的“平面”，同样，不变量是与迭合有关的量。

在四种度量几何（欧氏几何、双曲几何、两类椭圆几何）中，相应子群中允许的变换就是刚体运动，且只有这些几何允许刚体运动。克莱因引入了若干中间分类，以下只展示几种主要几何的关系：

几何分类

克莱因又考虑比射影几何更一般的几何。1872年代数几何作为独立学科崭露头角，他引入三维变换以刻划这种几何，用非齐次坐标写为x'=Φ(x,y,z),y'=ψ(x,y,z),z'=χ(x,y,z)，要求函数和逆函数是单值有理函数。这种变换称为克雷蒙纳变换(Cremona transformation)，在其变换下的不变量是代数几何的主题。

克莱因也提出对一一对应连续变化下具有连续逆变换的不变量进行研究，现在称为同胚变换，这类变换下不变量的研究是拓扑学的主题。虽然黎曼在研究黎曼曲面时也考虑过现在属于拓扑学的问题，但提出把拓扑学作为一门重大的几何学科，在1872年是大胆的一步。

克莱因时代后，对克莱因分类有了增加和进一步细分，但不是所有几何都能纳入克莱因分类，今天的代数几何和微分几何都不能用这个分类法。虽然克莱因的几何观点不能无所不包，但它给大部分几何提供了一个系统分类法，并提示了很多可研究的问题，他的几何“定义”指引了几何思想约50年之久。此外他强调变换下的不变性，这个观点从数学推广到力学和一般的数学物理。在人们注意到麦克斯韦方程经洛伦兹变换（仿射几何的四维子群）的不变性后，变换下不变性的物理问题，或物理定律的表达式不依赖于坐标系的问题在物理思想中变得重要，并引向狭义相对论。
几何分类的进一步研究至少在亥姆霍兹和索菲斯·李时代引起关注，他们寻求刻划刚体运动可能的几何，亥姆霍兹的基本论文《论几何的一些基础事实》证明了，若在一个空间内刚体运动是可能的，则在常曲率空间内ds的黎曼表达式是唯一的。索菲斯·李也探讨了这个问题，他使用叫做连续变换群的理论（在他研究常微分方程时已引进）刻划了刚体运动可能的各种空间，用的是这些空间所允许的各类变换群。