个人复习笔记高等数学上——微分方程

考点：

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程

二阶常系数齐次微分方程

二阶常系数非齐次微分方程

微分方程的定义

以前常用函数来研究问题，但有时写不出来函数，只能列出函数与导数的关系式（微分方程）

例一：可分离变量的微分方程

dy/ dx = 2xy

解：

步骤：把x,y各放一边，之后进行积分，简化即可得到答案

答案=c e^ x^2

也有 e^c * e^ x^2,

齐次微分方程

定义：可化为 dy/dx = F y/x,形式的一阶微分方程

1.观察是否为齐次

2.化为 dy/dx = F y/x的形式

3.换元

4.代回，化简

例二：齐次微分方程

求 y^2 + x^2 dy/dx = xy dy/dx的通解

解：

y^2/x^2 + dy/dx = y/x dy/dx

令u=y/x,y=ux

得出dy/dx

之后代入运算即可

结果： ln|y| = y/x + c

例三：

一阶线性微分方程

求 xy' + y = x^2 + 3x + 2(x > 0)的通解

解：

先转化成上述的形式

变成 y' + P(x)y = Q(x)

        y' + 1/x * y = x + 2/x +3

P(x) = 1/x 

Q(x) = x + 2/x +3

所以，先求

S P（x）dx = ln x 

之后求

S Q（x）*e^S P(x)dx dx =S(x + 2/x +3 ) e^ lnx dx =1/3 * x^3 +3/2 *x^2 + 2x

所以，y=1/3 x^2 + 3/2 x + 2 +c

二阶齐次方程：

定义：形如 y'' + Py' + Qy = 0(其中P ,Q为常数)

1.化为标准形式

2.求特征方程的解

3.对比通解表格

4.代入

eg1.y'' - 2y' -3y = 0

r^2 + 2r -3 = 0

r1 = -1, r2 = 3

r1 不等于 r2

所以参照表格

y = C1e^ -x + C2e^3x

例题五：

非齐次特解

定义：形如y'' + Py' + qy = e^入x Pm（x）

eg1: y'' + 2y' + 3y = (x^2 + 2)e^3x

入=3,Pm(x) = x^2 + 2

通解：y = Y + y*(齐次通解+非齐次特解) 

eg2:

至此，个人的高数上复习告一段了

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