30、共空间模式CSP与白化矩阵

CSP算法和PCA降维都涉及到了白化，那白化的目的和作用到底是啥呢？

矩阵白化目的：

对于任意一个矩阵X，对其求协方差，得到的协方差矩阵cov(X)并不一定是一个单位阵。

下面介绍几个线代矩阵的几个概念：

1、单位阵：

对角线特征值全为1的矩阵，记为E

2、对角阵：

所以，单位阵一定是对角阵，反之，错

3、对称阵：

矩阵A(i,j)=A(j,i)为对称阵，所以协方差矩阵是对称阵，但不一定是对角阵，更别提是单位阵

所以：

矩阵白化就是找到一个变换阵P，使得Y=PX的协方差矩阵cov(Y)是一个单位阵。

因为通过矩阵白化后，协方差变为单位阵，矩阵白化的目的就是：

使被变换的矩阵经过其向量的方差相同(单位阵性质)，最后的问题便是如何找到这个变换矩阵P

4、矩阵白化推导：

上面提到，对于矩阵X，协方差矩阵cov(X)=XXt并不一定是对角阵，但是对于实对称(对称矩阵A的所有值为实数，实对称阵必可以相似对角化)的协方差矩阵，特征值可以被分解为：

其中：

Λ=特征值组成的对角阵，Q=对应的特征向量。是正交阵(Q中存在两个向量相乘为0)

现在要找到线性变换矩阵P，使得Y=PX的协方差矩阵可以成为单位阵E，

即：

现在令：

有：

所以，当

可以使得Y=PX的协方差矩阵为单位阵E

因此 ，通过矩阵白化后，矩阵Y的各个向量(列向量还是行向量根据上文确定)之间就不相关了。

对于CSP，得出矩阵P之后，就可以用了构建空间滤波器了：

对于类别1：E1，有滤波器S1：

对于类别2：E2，有滤波器S2：