高中奥数 2021-12-27

2021-12-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P002 例1）

证明:对任意,都有

证明

当时,(1)式左边,(1)式右边,故时,(1)式成立.

现设(1)式对成立,考虑的情形.

由归纳假设知

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\ =&\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\ =&\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right) \\ =& 1-\dfrac{1}{n+2} . \end{aligned}$

所以,(1)式对成立.

2021-12-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P003 例2）

设.

证明

去掉的方格表的任何一个方格后,剩余的部分都可以用形状的型(如图)无重叠地完全覆盖.

图1

证明当时,由于一个"田"字型去掉任何一个方格后都是一个""型,故命题对成立.

图2

现设时,命题成立,即去掉一个的方格表的任何一个方格后,剩余部分都可用""型覆盖,我们考虑的情形.

图3

如图所示,将的方格表依中心所在的两条方格线把表格分割为个的方格表,则题设中要求去掉的那个小方格必落在某个的方格表中.在剩余的部分先绕中心摆一个""型,去掉图中所示的个阴影方格后,每个的子表格都去掉了一个方格,而由归纳假设可知,它们都可以用""型覆盖,再补上绕中心所摆的那个""型就得出命题对n=k+1成立.

综上可知,命题对一切正整数成立.

2021-12-27-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P003 例3）

设、是实数,使得、、、都是整数.

证明:对任意,数都为整数.

证明

此题要用到第一数学归纳法的一种变形:

设是关于正整数的一个命题(或性质),如果

(1)当时,成立;

(2)由、成立可以推出成立.

那么,对任意,都成立.

事实上,这种变形只是调整了归纳过程中的跨度,这样的例子在后面的讨论中会频繁出现.

回到原题,由条件与都是整数可知,命题对成立.

设命题对,成立,即与都是整数,考虑的情形.此时

因此,为证,结合归纳假设及条件中的,我们只需证明.

注意到、,故.若,,则可设为奇数,再由、,知,即.但为奇数,这是一个矛盾.所以.进而,命题对成立.

综上所述,对任意,数.

高中奥数 2021-12-27

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