IEEE 754标准

一、什么是IEEE

        IEEE 全称为 Institute of Electrical and Electronics Engineers，即电气与电子工程师协会，是一个国际性的电子技术与信息科学工程师的协会，也是全球最大的非营利性专业技术学会。

        IEEE 致力于电气、电子、计算机工程和与科学有关的领域的开发和研究，在太空、计算机、电信、生物医学、电力及消费性电子产品等领域已制定了 1300 多个行业标准，现已发展成为具有较大影响力的国际学术组织。

        IEEE 出版有 70 多种期刊杂志，每年举办 300 多次专业会议，在电气及电子工程、计算机及控制技术领域中发表的文献占了全球将近 1/3。IEEE 定义的标准在工业界有极大的影响，其制定的标准也被国际社会广泛采用。

二、IEEE 754标准

        IEEE 754是国际电气和电子工程师协会（Institute of Electrical and Electronics Engineers，IEEE）制定的一种浮点数运算标准，全称为“IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic”，首次发布于1985年，并在后续的1987、2008、2019年进行了修订。

        IEEE 754标准定义了二进制浮点数的表示方法，包括正数、负数、零以及特殊值（如无穷大和NaN——Not a Number）。它主要规定了：

--> 1. 浮点数的格式：

    包括单精度（32位）、双精度（64位）以及其他扩展精度格式。
    
    每个浮点数由三部分组成：符号位（sign bit）、阶码（exponent field）和尾数（mantissa或fraction field）。

--> 2. 范围和精度：

    根据不同的格式，浮点数可以表示非常大或非常小的数值，同时具有一定的有效数字精度。

--> 3. 特殊数值的表示：

    例如，±0、±无穷大（infinity）以及非数字值（NaN）都有特定的编码方式。

--> 4. 运算规则：

    包括加减乘除、舍入规则、比较大小等基本运算的行为规范。

        由于其通用性和高效性，现今几乎所有的计算机系统和编程语言都采用或兼容IEEE 754标准来处理浮点数运算。

三、IEEE 754标准在计算机中的表示和计算方式

        IEEE 754标准定义了浮点数在计算机中的表示和计算方式。下面以单精度（32位）浮点数为例，说明如何将一个十进制数转换成符合IEEE 754标准的二进制形式：

1、单精度（32位）格式

1、符号位（Sign bit）

    最高位1位，0表示正数，1表示负数。

2、阶码（Exponent）
    
    接下来8位，用于存储指数信息，通常采用偏移形式（即阶码减去某个固定的偏置值）来存储实际指数。

3、尾数（Mantissa或Fraction）

    最后23位，存储小数部分，通常会省略第一位的隐藏位（该位始终为1），所以有效尾数是24位。

2、转换步骤

-->1. 处理符号位：

 • 如果原数为正，则符号位设为0；

 • 如果原数为负，则符号位设为1。

-->2. 转换为二进制并规范化：

 • 把十进制数转换为二进制科学计数法的形式，例如 (-1)^s * m * 2^e，其中s是符号，m是规格化的尾数（范围在1到2之间的小数），e是指数。

 • 规范化意味着确保尾数部分的第一位总是1（这个1在存储时会被隐含存储，不占用实际位数）。

-->3. 编码阶码：

 • 对于单精度浮点数，阶码的实际值等于原始指数加上一个偏置常数，通常是127（对于双精度则是1023）。

 • 计算 E = e + 127（对于单精度）并将结果以二进制补码形式存入8位阶码字段。

-->4. 编码尾数：

 • 将规格化后的尾数（去掉第一位的1后剩余的部分）转换为二进制，并填充到尾数字段。

-->5. 特殊情况处理：

 • 若数字为0，则尾数全为0，阶码根据实际情况决定是0还是最小负指数（表示±0）。

 • 若数字为无穷大或NaN，则阶码字段全为1，尾数全为0，通过符号位区分正负无穷大，而某些特定的尾数模式用于表示不同类型的NaN。

-->6. 组合所有部分：

 • 将符号位、阶码字段和尾数字段按照上述规则拼接起来形成32位的二进制数。

3、示例

将十进制数33.758转换为IEEE 754单精度浮点数（32位）

-->1. 符号位(Sign)：

     • 因为33.758是正数，所以符号位S设为0。

-->2. 转换为二进制并规范化：

     • 首先将整数部分33转换为二进制：33 = 100001
     • 将小数部分0.758转换为二进制。这通常需要不断地乘以2并记录下整数部分直到达到足够的精度或者达到  尾数部分的最大位数。对于单精度浮点数，尾数有23位精度（不包括隐含的最高位1）。

    计算得到近似的二进制小数表示：
    0.758 ≈ 0.11000100110001...

    注意这里为了简化说明，我们没有实际展示完整精确的转换过程，但理论上要确保尾数部分在截断到23位后尽可能接近原始值。

-->3. 规格化：

    移动小数点使第一位数字成为1（隐含），并相应地调整指数。由于原数大于1，我们需要向左移动两位得到规范化的结果：
    1.1000100110001... * 2^2


-->4. 编码指数(E)：

    规范化后的指数是2，加上偏置常数127得到实际存储的指数E：
    E = 2 + 127 = 129

    将129转换为8位无符号偏移指数的二进制形式（即二进制补码形式，但因为这里是正数所以与无符号等价）：
    129 = 10000001 (二进制)

-->5. 编码尾数(M)：

    将规范化后的尾数去掉第一位的1，剩余部分填充到23位尾数字段：
    Mantissa = 1.000100110001... -> 000100110001... (忽略首位的1，保留23位)

-->6. 组合成最终的单精度浮点数：
    将符号位、指数和尾数组合起来：
    单精度浮点数: S Exponent Mantissa
    0 10000001 000100110001...


    最后，将它们拼接起来形成32位的单精度浮点数。

    注意：以上步骤中的尾数部分可能因为手头条件限制而进行了近似处理，在实际操作中，尾数应准确转换至23位，并且有可能需要四舍五入或舍去最低有效位以适应标准格式要求。同时，指数也需要正确按照IEEE 754单精度浮点数格式进行编码。

 

三、IEEE 754标准是如何产生的

        在IEEE 754标准出现之前，业界没有一个统一的浮点数标准，许多计算机制造商都设计了自己的浮点数规则和运算细节。当时，人们更加注重实现速度和简易性，而非数字的精确性。

         直到1985年，Intel公司打算为其8086微处理器引入一种浮点数协处理器，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。

        于是Intel公司邀请加州大学伯克利分校的William Kahan教授——最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式；而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone）。

        他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成得如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。        

        目前，几乎所有计算机都支持该标准，它大大改善了科学应用程序的可移植性。