算法导论复习——CHP4 分治策略

 分支步骤

步骤：

1）分解（Divide）：将原问题分为若干个规模较小、相互独立，形式与原 问题一样的子问题；

2）解决（Conquer）：若子问题规模较小、可直接求解时则直接解（称基本情况(base case)）；否则 “递归”地求解各个子问题，即继续将较大子问题分 解为更小的子问题，然后重复上述计算过程。

3）合并（Combine）：将子问题的解合并成原问题的解。 

分治实例 

归并排序

•         应用步骤：

        1）分解（Divide）：将原序列分为两个规模为原来一半的子序列

        2）解决（Conquer）：当子序列只有1个元素时，满足有序；否则 “递归” 地求解各个子问题。        

        3）合并（Combine）：将两个有序的子数组合并成有序的原数组。 

•         过程描述：

                MERGE-SORT(A,p,r)

                MERGE(A,p,q,r)

•         时间复杂度分析：

        （求解递归式可得：）

最大子数组

        已知数组A，在A中寻找和最大的非空连续子数组。

•        应用步骤：

        1）分解（Divide）：将原数组分为两个规模一样的左右两个子数组。

        2）解决（Conquer）：分别求解两个子数组的最大的非空连续子数组。

        3）合并（Combine）：最终答案要么整体都在左边或右边子数组中，要么横跨左右，这种情况在合并时考虑，时间复杂度。

•         时间复杂度：

                                        有     

Strassen矩阵乘法           

        减少乘法次数，增加加法次数。

        先考虑两2 × 2 的矩阵相乘：

        令：

        P=(a11+a22 )(b11+b22 )

        Q=(a21+a22 ) b11

        R=a11 (b12-b22 )

        S=a22 (b21-b11 )

        T=(a11 + a12 )b22

        U=(a11 – a21 ) (b11 + b12 )

        V=(a12 – a22 ) (b21 + b22）

        则有：

        c11 = P+S-T+V = (a11+a22 )(b11+b22 ) + a22 (b21-b11 ) -(a11 + a12 )b22+(a12 – a22 ) (b21 + b22 ) ≡ a11b11+a12b21

        c12 = R+T ≡ a11b12+a12b22

        c21 = Q+S ≡ a21b11+a22b21

        c22 = P+R-Q-U ≡ a21b12+a22b 

        现在对于n阶矩阵，采用分块：（设，若不然可通过在A和B中补0使之变成阶是2的幂的方阵），然后采用Strassen乘法。

•          时间复杂度：

                有： 

        （但实际上，采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆 内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势。于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当 n< 界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。需要合理设置界限，不同环境（硬件配置）下界限不同。矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数很大时，才会考虑使用Strassen算法。）

最近点对问题

        可以参考这一题

求解递归式

        用T(n)表示对规模为n的问题进行求解的时间，则规模分别为n1和n2的子问题的求解时间可表示为T(n1 )和T(n2)。

        一般地，

        若有，则

        如何化简递归式，得到形式简单的限界函数？

        代换法

        递归树法

        主方法

         预处理：

        1）：n为正整数（因为n通常表示数据的个数）

        2）：忽略递归式的边界条件。（递归式的解随T(1)值变化的改变不会超过常数因子）

        3）：对上取整、下取整运算做合理简化（忽略）。

        代数法

                先猜测解的形式，然后用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。

                必要的时候要做一些技术处理

                1）去掉一个低阶项

                2）变量代换：

                如：

                令 ，有

                再令，得

                即化为了熟悉的形式，求解出S(m)再回带。

        递归树

        以例子说明：

        如

        递归树演化如下：

              =>             =>                       =>

 所有节点相加：

化简得： 

 再用代换法证明其正确性：

        

        要使得成立，只要即可，所以猜测成立。 

        主方法

        针对具有如形式的递推式，其中a, b为常数，，，没有考虑n/b的取整问题，即省略了下取整、上取整，因为其本质上不影响对递归式渐近行为的分析。

1. 若对于某常数，有，则
2. 若，则
3. 若对于某常数，有，且对于某常数，所有足够大的n，有，则