python统计学-两个总体均值差的区间估计

简介

两个总体均值差的区间估计是指,在给定的置信水平下,估计两个总体均值差的置信区间。两个总体均值差的区间估计的公式为:

X ‾ 1 − X ‾ 2 ± t α / 2 , n 1 + n 2 − 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 \overline{X}_1 - \overline{X}_2 \pm t_{\alpha/2, n_1 + n_2 - 2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} X1X2±tα/2,n1+n22n1s12+n2s22

其中, X ‾ 1 \overline{X}_1 X1 X ‾ 2 \overline{X}_2 X2分别是两个总体的样本均值, s 1 2 s_1^2 s12 s 2 2 s_2^2 s22分别是两个总体的样本方差, n 1 n_1 n1 n 2 n_2 n2分别是两个总体的样本容量, t α / 2 , n 1 + n 2 − 2 t_{\alpha/2, n_1 + n_2 - 2} tα/2,n1+n22是置信水平为 α \alpha α,自由度为 n 1 + n 2 − 2 n_1 + n_2 - 2 n1+n22的t分布的临界值。

应用

两个总体均值差的区间估计在实际工程中有广泛的应用,例如:

  • 产品质量控制:在产品质量控制中,需要对两个不同批次的产品的质量进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两个批次产品质量的差异,并判断两个批次产品是否满足质量要求。
  • 医学研究:在医学研究中,需要对两种不同治疗方法的疗效进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两种治疗方法的疗效差异,并判断两种治疗方法是否具有统计学意义。
  • 市场调查:在市场调查中,需要对两个不同产品的市场份额进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两个产品的市场份额差异,并判断两个产品的市场份额是否具有统计学意义。

优缺

两个总体均值差的区间估计有以下优点:

  • 简单易用,计算方便。
  • 适用范围广,可以用于正态分布和非正态分布的数据。
  • 可以估计两个总体均值差的置信区间,从而对两个总体均值差做出更准确的判断。

两个总体均值差的区间估计也有以下缺点:

  • 需要知道两个总体的样本均值、样本方差和样本容量。
  • 当两个总体的样本容量较小时,区间估计的精度较低。
  • 当两个总体的方差不相等时,区间估计的精度也较低。

代码

Python代码

import numpy as np
import scipy.stats as stats

def confidence_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level):
  """Calculates the confidence interval for the difference between two sample means.

  Args:
    sample1: The first sample.
    sample2: The second sample.
    confidence_level: The desired confidence level, as a decimal between 0 and 1.

  Returns:
    A tuple containing the lower and upper bounds of the confidence interval.
  """

  # Calculate the sample means and sample variances
  mean1 = np.mean(sample1)
  mean2 = np.mean(sample2)
  var1 = np.var(sample1)
  var2 = np.var(sample2)

  # Calculate the pooled variance
  pooled_var = ((n1 - 1) * var1 + (n2 - 1) * var2) / (n1 + n2 - 2)

  # Calculate the t-statistic
  t_stat = (mean1 - mean2) / np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))

  # Calculate the degrees of freedom
  df = n1 + n2 - 2

  # Calculate the critical value
  critical_value = stats.t.ppf(1 - confidence_level / 2, df)

  # Calculate the confidence interval
  lower_bound = mean1 - mean2 - critical_value * np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))
  upper_bound = mean1 - mean2 + critical_value * np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))

  return lower_bound, upper_bound

# Example usage
sample1 = np.random.normal(10, 2, 100)
sample2 = np.random.normal(12, 3, 100)
confidence_level = 0.95
lower_bound, upper_bound = confidence_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level)
print("Confidence interval:", lower_bound, upper_bound)

R代码

# Function to calculate the confidence interval for the difference between two sample means
conf_interval_two_sample_means <- function(sample1, sample2, confidence_level) {
  # Calculate the sample means and sample variances
  mean1 <- mean(sample1)
  mean2 <- mean(sample2)
  var1 <- var(sample1)
  var2 <- var(sample2)

  # Calculate the pooled variance
  pooled_var <- ((length(sample1) - 1) * var1 + (length(sample2) - 1) * var2) / (length(sample1) + length(sample2) - 2)

  # Calculate the t-statistic
  t_stat <- (mean1 - mean2) / sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))

  # Calculate the degrees of freedom
  df <- length(sample1) + length(sample2) - 2

  # Calculate the critical value
  critical_value <- qt(1 - confidence_level / 2, df)

  # Calculate the confidence interval
  lower_bound <- mean1 - mean2 - critical_value * sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))
  upper_bound <- mean1 - mean2 + critical_value * sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))

  return(c(lower_bound, upper_bound))
}

# Example usage
sample1 <- rnorm(100, 10, 2)
sample2 <- rnorm(100, 12, 3)
confidence_level <- 0.95
conf_interval <- conf_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level)
print(paste("Confidence interval:", conf_interval[1], conf_interval[2]))

注意

  • 在使用两个总体均值差的区间估计时,需要知道两个总体的样本均值、样本方差和样本容量。
  • 当两个总体的样本容量较小时,区间估计的精度较低。
  • 当两个总体的方差不相等时,区间估计的精度也较低。
  • 在使用两个总体均值差的区间估计时,需要选择合适的置信水平。置信水平越高,区间估计的精度越高,但区间估计的宽度也越大。

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