【代数学作业5】理想的分解：高斯整数环中理想的结构，并根据其范数和素数的性质进行分解

写在最前面

这些分解展示了在高斯整数环中理想的结构，以及如何根据其范数和素数的性质进行分解。

题目1

令域扩展 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$，证明以下等式在 ${\mathcal{O}}_K$（$K$ 的整环）中的成立：

1. $(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$
2. $(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$
3. $(33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$
4. $(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$

相关概念

1. 域扩展（Field Extension）: 如果有两个域 $F$ 和 $K$，且 $F\subseteq K$，则称 $K$ 是 $F$ 的一个域扩展。在本题中，$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 表示包含所有形式为 $a+b\sqrt{3}$（其中 $a,b\in \mathbb{Q}$）的数的域，这是有理数域 $\mathbb{Q}$ 的一个扩展。

2. 整环（Ring of Integers）: 一个整环是一种特殊的环，它是交换的，有单位元素，且没有零因子。对于数域 $K$，其整环 ${\mathcal{O}}_K$ 是 $K$ 中所有代数整数的集合。代数整数是指满足某个以整数为系数的首一多项式（其最高次项系数为1）的方程的根。

3. 理想（Ideal）: 在环论中，一个理想是指一个环中的特定子集，它可以通过环的操作与环中的其他元素相结合而不离开这个子集。

题解分析

1. $(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$

要证明这个等式，我们需要找到一个数 $\alpha$ 使得 $\alpha (1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}$。我们可以尝试使用数 $-2-\sqrt{3}$ 和 $-2+\sqrt{3}$：

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这说明 $(1+\sqrt{3})$ 可以由 $(1-\sqrt{3})$ 生成，反之亦然。因此，$(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$。

2. $(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$

要证明这个不等式，我们需要证明没有数 $\alpha$ 使得 $\alpha (4-\sqrt{3})=4+\sqrt{3}$。假设存在这样的数 $\alpha =a+b\sqrt{3}$，我们得到：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (a + b\sqrt{3}…

通过比较实部和虚部，我们得到：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ 4a + 3b &= 4 \…

解这个方程组，我们发现没有符合条件的整数解。因此，$(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$。

3. $(33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$

要证明这个等式，我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先，我们找到一个数 $\alpha$ 使得 $\alpha (33)+\beta (7-3\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}$。通过解方程，我们发现：

$$(-2+\sqrt{3})33+10(7-3\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}$$

这说明 $4+3\sqrt{3}$ 在 $(33,7-3\sqrt{3})$ 中。接着，我们需要证明 $33$ 和 $7-3\sqrt{3}$ 可以由 $(4+3\sqrt{3})$ 生成。通过一些计算，我们发现：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (-12 + 9 \sqrt…

这说明 $33$ 和 $7-3\sqrt{3}$ 都在 $(4+3\sqrt{3})$ 中。因此，$(33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$。

4. $(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$

同样，要证明这个等式，我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先，我们找到一个数 $\alpha$ 使得 $\alpha (13)+\beta (7+5\sqrt{3})=4+\sqrt{3}$。通过解方程，我们发现：

$$(-1-\sqrt{3})(7+5\sqrt{3})+(-2+\sqrt{3})13=4+\sqrt{3}$$

这说明 $4+\sqrt{3}$ 在 $(13,7+5\sqrt{3})$ 中。接着，我们需要证明 $13$ 和 $7+5\sqrt{3}$ 可以由 $(4+\sqrt{3})$ 生成。通过一些计算，我们发现：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ (4 - \sqrt{3})…

这说明 $13$ 和 $7+5\sqrt{3}$ 都在 $(4+\sqrt{3})$ 中。因此，$(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$。

题解

1. $$\because \begin{array}{rl}& (-2-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}.\\ & (-2+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1-\sqrt{3}.\end{array}$$$$\therefore (1+\sqrt{3})生成元在(1-\sqrt{3})中，(1-\sqrt{3})生成元在(1+\sqrt{3})中。$$$$\therefore (1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$$
2. $$\because \{\begin{array}{l}4a+3b=4\\ a+4b=-1\end{array}\Rightarrow b=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}\text{ 矛盾. }$$$$\therefore 4-3\sqrt{3}在(4+3\sqrt{3})中，(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$$
3. $\because (-2+\sqrt{3})33+10(7-3\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}$，$\therefore 4+3\sqrt{3}$ 在 $(33,7-3\sqrt{3})中$
   $\because (-12+9\sqrt{3})(4+3\sqrt{3})=33,(-5+3\sqrt{3})(4+3\sqrt{3})=7-3\sqrt{3}$
   $\therefore 33,7-3\sqrt{3}$ 在 $(4+3\sqrt{3})$ 中
   $\therefore (33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$
4. $\because (-1-\sqrt{3})(7+5\sqrt{3})+(-2+\sqrt{3})13=4+\sqrt{3}$，$\therefore 4+\sqrt{3}在(13,7+5\sqrt{3})中$$\begin{array}{rl}& \because (4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=13,(1+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=7+5\sqrt{3}\\ & \therefore 13,7+5\sqrt{3}\text{ 在 }(4+\sqrt{3})中\\ & \therefore (13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})\end{array}$

题目2

令域扩展 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，试在 ${\mathcal{O}}_K$（$K$ 的整环）中：

1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想；
2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解。

相关概念

1. （题1）$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 的整环 ${\mathcal{O}}_K$ 是高斯整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$。高斯整数环是由形式为 $a+b\sqrt{-1}$ 的数构成的环，其中 $a,b\in \mathbb{Z}$。

2. （题1）范（Norm） 的定义：对于高斯整数 $\alpha =a+b\sqrt{-1}$，其范定义为 $N(\alpha )=a^2+b^2$。

3. （题2）在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 中进行素理想分解，首先需要了解该环的素元素。高斯整数环中的素元素可以是：

   • 普通素数 $p$，如果 $p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$。
   • 两个高斯整数的乘积，如果普通素数 $p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$。
   • $1+\sqrt{-1}$ 和其共轭。

题解

1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想

1. 范为1的理想：只有单位理想和整环本身。
2. 范为2的理想：包括 $(1+\sqrt{-1})$ 和它的共轭 $(1-\sqrt{-1})$。
3. 范为3的理想：无，因为没有高斯整数的范为3。
4. 范为4的理想：包括 $(2)$, $(2\sqrt{-1})$。
5. 范为5的理想：无，因为没有高斯整数的范为5。

2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解

1. (2) 的素理想分解：$(2)$ 本身就是一个素理想，因为 $2=(1+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-1})$，而 $1\pm \sqrt{-1}$ 在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 中是不可约的。
2. (3) 的素理想分解：$(3)$ 是素理想，因为 3 是普通素数且 $3\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$。
3. (4) 的素理想分解：$(4)=(2{)}^2$。由于 $(2)$ 已经是素理想，因此 $(4)$ 的分解就是 $(2)$ 的平方。
4. (5) 的素理想分解：对于 $(5)$，由于 $5\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$，它可以分解为两个不同的高斯整数的乘积。具体来说，$5=(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})$，因此 $(5)=(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})$。其中 $(2\pm \sqrt{-1})$ 都是素理想。