数据结构学习笔记——查找算法中的树形查找(B树、B+树)

目录

  • 前言
  • 一、B树
    • (一)B树的概念
    • (二)B树的性质
    • (三)B树的高度
    • (四)B树的查找
    • (五)B树的插入
    • (六)B树的删除
  • 二、B+树
    • (一)B+树的概念
    • (二)B+树的性质
    • (三)B+树的查找

前言

B树和B+树属于树形查找算法中的一种,主要用于数据库系统、文件系统和磁盘存取等方面,都是用于存储和索引大量的数据,以提高检索效率。例如,在磁盘存储中,通过将数据分散到多个磁盘块中,并使用树形结构来组织这些磁盘块,从而提高了查找速度和查找效率。若设B树中所有结点的孩子结点个数的最大值为m,则该B树是一棵m阶B树,另外B+树则是B树的变形。

一、B树

(一)B树的概念

二叉排序树也称为查找树(注意:与二分查找的判定树不同),其中各结点值的大小关系是:左子树<根结点<右子树,且左、右子树也是一棵二叉排序树满足其条件。

前面给过二叉查找树的定义,简单的来说,B树是二叉查找树的推广,即一棵m阶B树可看作一棵m叉查找树,但两者有些方面不同,如下:
1、结点与关键字不同:二叉查找树遵循二叉树的原则,每个结点最多只有两个孩子结点,且每个结点只包含一个关键字;而B树的每个结点最多有m个结点,即最多含有m-1个关键字。
2、平衡性:二叉查找树不一定是一棵平衡二叉树,查找过程中查找效率可能随着查找树的结构变化;而B树是一棵多路平衡查找树,通过限制结点的子树和关键字数量,使B树的高度保持相对稳定,从而提高查找效率。B树也正是在保持平衡的前提下能够更高效地处理大量数据,从而非常适合应用在需要高效存储和访问大量数据的场景中。

(二)B树的性质

B树中与二叉查找树相同的性质,二叉查找树各结点值的大小关系是:左子树<根结点<右子树,而B树中关键字的值的大小关系是:子树1<关键字1<子树2<关键字2<子树3…,一棵m阶B树中,除了根结点外所有结点中关键字个数为:⌈m/2⌉-1 ≤ n ≤ m-1。例如,一棵5阶B树中,除了根结点外所有结点中关键字的个数为2 ≤ n ≤ 4,即关键字个数最少为2,最多为4。
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1、m阶B树中,根结点至多有m棵子树,若B树的根结点不是终端结点,则该B树至少有两棵子树。
2、B树中结点内关键字均以升序或降序排列。
3、B树是一棵多路平衡查找树,所有结点的平衡因子均为0。
4、m阶B树中,若根结点没有关键字,则B树无子树,B树为空;若有关键字,由于子树个数等于关键字个数加1,所以子树一定大于或等于两棵。
5、m阶B树中,根结点最少含1个关键字,而除根结点外,每个非叶子结点至少有⌈m/2⌉棵子树,且至少有⌈m/2⌉-1个关键字;由于最少情况下,根结点至少有一个关键字,所以B树中所有结点包括的关键字个数至少为(n-1)(⌈m/2⌉-1)+1个。
6、结点的孩子结点的个数等于该结点关键字的个数加1,即具有n个关键字的m阶B树,应有n+1个叶结点。另外,B树中所有的叶子结点均在一层上,且不带任何信息,这一点与二分查找判定树中查找失败的结点类似,实际上这些叶子结点不存在,代表查找失败的情况,如下:
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(三)B树的高度

在求B树的高度时,不计入叶子结点,若设m阶B树中包括n(n≥1)个关键字,其高度为h,可得到B树的最小高度和最大高度范围区间:logm(n+1) ≤ h ≤ log⌈m/2⌉[(n+1)/2]+1。

⌈ ⌉表示向上取整,取比自己大的最小整数,⌊ ⌋表示向下取整,取比自己小的最大整数。

(四)B树的查找

B树的查找类似二叉查找,首先在B树中查找结点,然后在结点所包含的关键字K1,…,Kn中查找给定的关键字,可通过顺序查找二分查找进行查找,若找到等于给定值的关键字,则查找成功;否则,继续查找,直至找到或指针为空时,此时查找失败,即查找到B树的叶子结点时失败。

(五)B树的插入

B树的插入操作不仅需要找到要插入的位置(定位),而且需判断插入后是否会导致不满足B树的定义,由于B树中查找成功结点的关键字个数在 ⌈m/2⌉-1 ≤ n ≤ m-1间,如下:
1、第一种情况:若插入后结点的关键字个数小于m,则直接插入。
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2、第二种情况:若插入后结点的关键字个数大于m-1,则需要进行调整,从关键字中间位置⌈m/2⌉处将关键字分为两部分,左半部分放在原结点中,右半部分放在新的相邻右边结点中,中间关键字元素⌈m/2⌉上移到原结点的父结点中,另外,若父结点的空间也不够,则继续按照以上方式进行调整。
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(六)B树的删除

B树的删除分两种情况,如下:
1、第一种情况
若要删除的关键字在终端结点中时:
(1)若要删除的关键字所在结点的关键字个数大于或等于⌈m/2⌉时,即关键字删除后结点仍满足相应的关键字个数,则可直接删去。
(2)若要删除的关键字当前所在结点的关键字个数等于⌈m/2⌉-1时,且左/右兄弟很充裕时,即其关键字个数大于或等于⌈m/2⌉时,需要进行调整(向兄弟借),用当前结点的前驱/后继、前驱的前驱/后继的后继代替,从而满足B树的定义。
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(3)若要删除的关键字当前所在结点的关键字个数等于⌈m/2⌉-1时,且左/右兄弟不是很充裕时,即其关键字个数只等于⌈m/2⌉-1时,则将关键字删除后需要进行合并,即与当前结点的兄弟结点以及双亲结点中的关键字合并。
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2、第二种情况
若要删除的关键字不在终端结点中时,用该关键字的直接前驱或直接后继代替,转换成第一种情况,再进行删除。
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二、B+树

(一)B+树的概念

B+树可以由分块查找推广,所以也称为多级分块查找,即m阶B+树,它是B树的变形,与B树相同,B树和B+树都是平衡的多叉树,都用在文件索引结构和数据库索引中,但B+树更加适用。B树的结点包含关键字对应记录的存储地址,且B树中的叶子结点不带信息,而B+树的叶子结点带信息,而其中其他的非叶子结点只是作索引作用。

(二)B+树的性质

B+树中,n个关键字对应n棵子树,即每个关键字对应一棵子树,且子树的个数与结点的关键字个数相等,每个分支结点至少有 ⌈m/2⌉棵子树。
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B树与B+树中结点的关键字个数对比如下表:

名称 B树 B+树
根结点关键字个数 1 ≤ n ≤ m-1 2 ≤ n ≤ m
非根结点关键字个数 ⌈m/2⌉-1 ≤ n ≤ m-1 ⌈m/2⌉ ≤ n ≤ m

(三)B+树的查找

B树支持随机查找,而B+树支持顺序查找和随机查找。

B树不支持顺序查找的原因是查找时可能查找到树中的任何一层,所以其查找速度和稳定性没有B+树高。

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