泊松分布与二项分布的可加性

泊松分布与二项分布的可加性

泊松分布的可加性

例 : 设 $X,Y$ 相互独立 , $X\sim P({\lambda }_1)$ , $Y\sim P({\lambda }_2)$ , 求证 $Z=X+Y$ 服从参数为 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的泊松分布

证明 :

由题意 , $X$ 的分布律为 $P\{X=i\}=\frac{{\lambda }_1^i}{i!}{e}^{-{\lambda }_1},i=0,1,2,\cdots$

$Y$ 的分布律为 $P\{Y=i\}=\frac{{\lambda }_2^i}{i!}{e}^{-{\lambda }_2},i=0,1,2,\cdots$

$Z$ 的可能取值为 $0,1,2,\cdots$ , $Z$ 的分布律为 $P\{Z=k\}=P\{X+Y=k\}={\sum }_{i=0}^{k}P\{X=i\}P\{Y=k-i\}={\sum }_{i=0}^k\frac{{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}}{i!(k-i)!}{e}^{-{\lambda }_1}{e}^{-{\lambda }_2}=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{k!}{\sum }_{i=0}^k\frac{k!{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}}{i!(k-i)!}=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{k!}{\sum }_{i=0}^k{C}_k^i{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}=\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}$

$k=0,1,2,\cdots$

二项分布的可加性

类似地，可以证明，$X\sim B(n_1,p),Y\sim B(n_2,p)$ , $则Z=X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$