四棱柱：2019年理数全国卷A题18

四棱柱：2019年理数全国卷A题18

分值：12 分

如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， 分别是 的中点.

（1）证明∶ 平面 ;

（2）求二面角 的正弦值.

2019年理数全国卷A

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【解答问题1】

作 中点 ，连接 .

因为 是直四棱柱，所以：

;

是矩形;

;

∵

∴ （三线合一）

∴

∵ ,

∴ 是平行四边形

∴

又∵ 是菱形，

∴ 是正三角形.

而 分别是 的中点，

∴ ,

∴ .

∵ ,

∴

又∵ 平面 ,

∴ 平面 . 证明完毕.

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【解答问题2】

作 中点 , 连接 .

∵ 是菱形， ,

∴ 是正三角形.

又∵ 是 中点，

∴ . （三线合一）

∵ 是直四棱柱,

∴ 平面 平面 ,

又∵ ,

∴ 平面

∴ 是 在平面 上的投影.

∵ 是平行四边形, （问题1中已经证明）

∴ 且

由勾股定理可得：,

∵ 是 的中点,

∴

与 是同一个二面角，所以 二面角 的正弦值就是 .

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【提炼与提高】

问题2的解法有两种思路：一是几何法；二是向量法。这里，我们采用几何方法，利用两个三角形的投影关系求出二面角的余弦，从而算出正弦值.

这种方法具有通用性，在很多立体几何问题中都有应用。详见相关考题清单。

仔细分析会发现：「2012年理数题19」 与本题具有很高的相似性。可以说是：7年一轮回。

【相关考题】

2012年理数题19

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