线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则

目录

行列式按行展开

余子式

代数余子式 

定理1

定理2

练习

范德蒙行列式 

回顾

练习

克拉默法则


行列式按行展开

余子式

若有行列式如下:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 &3 \\ 1 & 1&1 &1 \\ 2& 2&3 &4 \\ 5 & 5 &6 & 6 \end{vmatrix}

则有下面的余子式:

M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 &1 &1 \\ 5&6 &6 \end{vmatrix}

线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第1张图片

代数余子式 

比余子式多了一个符号:

A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 &3 \\ 1 & 1 &1 \\ 5 &6 &6 \end{vmatrix}

定理1

行列式按某行(列)展开,D=\sum某行(列)元素乘以自己的代数余子式。(降阶)

\begin{vmatrix} 1 & 1& 2\\ 0& 1 &0 \\ 2& 3 & 5 \end{vmatrix},对于这个行列式,假设我们按第一行展开:

\begin{vmatrix} 1& 1 &2 \\ 0& 1 &0 \\ 2&3 & 5 \end{vmatrix}=1\times(-1)^{1 +1}\begin{vmatrix} 1&0 \\ 3& 5 \end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}

很显然,我们在展开时应尽量选择0较多的行或者列,类似于这个行列式我们就会选择展开第二行而不是第一行了。 

定理2

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0.

相比于定理1,这个定理不是很常用

有如下行列式:

\begin{vmatrix} 1 &1 &2 & 3\\ 0 & 0 &8 &9 \\ 2 &5 & 5 &4 \\ 9& 9 &9 & 10 \end{vmatrix},我们用第四行的元素与第一行元素的代数余子式相乘,再相加

9\times A_{11}+9\times A_{12}+9\times A_{13}+10\times A_{14}=0

证明:

线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第2张图片

根据性质3(行列式中两行或者两列对应相等,则该行列式的值为0) ,所以D=0.

练习

(解题方法不唯一)

题1

四阶行列式

线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第3张图片  =()

A.0        B.4        C.12        D.-12


线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第4张图片

故答案选择:D.-12

题2 

四阶行列式

线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第5张图片展开式中x的系数为()

A.-4        B.4        C.2        D.-2


线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第6张图片

故答案选择:A.-4 

题3

排列2n(2n-1)(2n-2)...21的逆序数为()

A.2n        B.2n-1        C.n(2n-1)        D.2n(n-1)


根据逆序数的定义,我们可以知道,这道题本质上是求等差数列1,2,3...(2n-1)的和;

因为对于‘2n’来说,其逆序数有2n-1个、对于‘2n-1’来说,其逆序数有2n-2个,以此类推。

代入等差数列的求和公式S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2},逆序数等于\frac{(2n-1)(1+(2n-1))}{2}=\frac{(2n-1)2n}{2}=n(2n-1)

故答案选择:C.n(2n-1)

题4

\begin{vmatrix} x &1 &1 \\ 1 &x &1 \\ 1 & 1 &x \end{vmatrix}=0,则x=()

A.0或1        B.0或-2        C.1或-2        D.0或-1


线性代数——(期末突击)行列式(下)-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则_第7张图片

故答案选择: C.1或-2 

题5

\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=m\neq 0,则\begin{vmatrix} 2a_{11} &2a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{vmatrix}=()

A.m        B.2m        C.3m        D.4m


的角度看,第一行提一个2,得

2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ 2a_{21} &2a_{22} \end{vmatrix} 

第二行再提一个2,得

2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m

再从的角度看,第一列提一个2,得 

2\begin{vmatrix} a_{11} &2a_{12} \\ a_{21} &2 a_{22} \end{vmatrix}

第二列再提一个2,得

2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m 

范德蒙行列式 

回顾

范德蒙行列式形式:D=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &... &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 &... &x_n \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 &... &x_n^2 \\ ... &... &... &... &... \\ x_1^{n-2} &x_2^{n-2} &... &... &x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &... &... &x_n^{n-1} \end{vmatrix}

遇到类似于上式的行列式时,可以使用范德蒙行列式直接计算此行列式的值。

具有上式特征的行列式的值为:

\underset{n\geq i> j\geq 1}{\prod}=(x_i-x_j)

上面的式子表示:行列式D的值为所有的(x_i-x_j)的乘积(其中i>j)

例如:

\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 \end{vmatrix}的值为:(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)

练习

题1

三阶行列式\begin{vmatrix} a &a^2 &a^3 \\ b &b^2 &b^3 \\ c &c^2 &c^3 \end{vmatrix}=()

A.(b-a)(c-a)(c-b)           B.abc(b-a)(c-a)(c-b)

C.(b+a)(c+a)(c+b)        C.abc(b+a)(c+a)(c+b)


 原式=abc\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 \\ 1& b & b^2\\ 1& c &c^2 \end{vmatrix}=abc(b-a)(c-a)(c-b)

因此答案选择: B.abc(b-a)(c-a)(c-b) 

题2

四阶行列式\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}=()

A.-120        B.120        C.24        D.-24


\begin{matrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}\overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 2 &-1 &3 &4 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}&= & & \\ (4-2)[4-(-1)](4-3)(3-2)[3-(-1)][(-1)-2]& =& & \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2\times5\times1\times1\times4\times(-3) &= &-120 & \\ & & & \end{matrix} 

因此答案选择: A.-120

克拉默法则

有下列方程组:

\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= &b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= &b_2 \\ ... &... &... \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n &= &b_m \end{matrix}\right.

其系数行列式\left | A \right |\neq 0,则方程组解唯一。

x_i=\frac{\left | A_i \right |}{\left | A \right |}

\left | A_i \right |意为把行列式中的第 i 列替换为 b_1,b_2,...,b_m

例如,

x_2=\frac{\left | A_2 \right |}{\left | A \right |}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} &b_{1} &... &a_{1n} \\ a_{21} &b_{2} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &b_m &... &a_{mn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &a_{m2} &... &a_{mn} \end{vmatrix}}


学习自:https://www.bilibili.com/video/BV1xM41147Mj?vd_source=11f3dfb26d11a6a6832ed5c079654e1c 

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