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线性代数——（期末突击）行列式（下）-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则

目录

行列式按行展开

余子式

代数余子式

定理1

定理2

练习

范德蒙行列式

回顾

练习

克拉默法则

行列式按行展开

余子式

若有行列式如下：

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 &3 \\ 1 & 1&1 &1 \\ 2& 2&3 &4 \\ 5 & 5 &6 & 6 \end{vmatrix}$

则有下面的余子式：

$M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 &1 &1 \\ 5&6 &6 \end{vmatrix}$

代数余子式

比余子式多了一个符号：

$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 &3 \\ 1 & 1 &1 \\ 5 &6 &6 \end{vmatrix}$

定理1

行列式按某行（列）展开， $D=\sum$ 某行（列）元素乘以自己的代数余子式。（降阶）

$\begin{vmatrix} 1 & 1& 2\\ 0& 1 &0 \\ 2& 3 & 5 \end{vmatrix}$ ，对于这个行列式，假设我们按第一行展开：

$\begin{vmatrix} 1& 1 &2 \\ 0& 1 &0 \\ 2&3 & 5 \end{vmatrix}=1\times(-1)^{1 +1}\begin{vmatrix} 1&0 \\ 3& 5 \end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}$

很显然，我们在展开时应尽量选择0较多的行或者列，类似于这个行列式我们就会选择展开第二行而不是第一行了。

定理2

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0.

相比于定理1，这个定理不是很常用

有如下行列式：

$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 & 3\\ 0 & 0 &8 &9 \\ 2 &5 & 5 &4 \\ 9& 9 &9 & 10 \end{vmatrix}$ ，我们用第四行的元素与第一行元素的代数余子式相乘，再相加

$9\times A_{11}+9\times A_{12}+9\times A_{13}+10\times A_{14}=0$

证明：

根据性质3（行列式中两行或者两列对应相等，则该行列式的值为0），所以D=0.

练习

（解题方法不唯一）

题1

四阶行列式

=（）

A.0 B.4 C.12 D.-12

故答案选择：D.-12

题2

四阶行列式

展开式中x的系数为（）

A.-4 B.4 C.2 D.-2

故答案选择：A.-4

题3

排列的逆序数为（）

A.2n B.2n-1 C.n(2n-1) D.2n(n-1)

根据逆序数的定义，我们可以知道，这道题本质上是求等差数列1,2,3...(2n-1)的和；

因为对于‘2n’来说，其逆序数有2n-1个、对于‘2n-1’来说，其逆序数有2n-2个，以此类推。

代入等差数列的求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ ，逆序数等于 $\frac{(2n-1)(1+(2n-1))}{2}=\frac{(2n-1)2n}{2}=n(2n-1)$

故答案选择：C.n(2n-1)

题4

设 $\begin{vmatrix} x &1 &1 \\ 1 &x &1 \\ 1 & 1 &x \end{vmatrix}=0$ ，则x=（）

A.0或1 B.0或-2 C.1或-2 D.0或-1

故答案选择： C.1或-2

题5

若 $\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=m\neq 0$ ，则 $\begin{vmatrix} 2a_{11} &2a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{vmatrix}$ =（）

A.m B.2m C.3m D.4m

从行的角度看，第一行提一个2，得

$2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ 2a_{21} &2a_{22} \end{vmatrix}$

第二行再提一个2，得

$2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m$

再从列的角度看，第一列提一个2，得

$2\begin{vmatrix} a_{11} &2a_{12} \\ a_{21} &2 a_{22} \end{vmatrix}$

第二列再提一个2，得

$2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m$

范德蒙行列式

回顾

范德蒙行列式形式： $D=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &... &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 &... &x_n \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 &... &x_n^2 \\ ... &... &... &... &... \\ x_1^{n-2} &x_2^{n-2} &... &... &x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &... &... &x_n^{n-1} \end{vmatrix}$

遇到类似于上式的行列式时，可以使用范德蒙行列式直接计算此行列式的值。

具有上式特征的行列式的值为：

$\underset{n\geq i> j\geq 1}{\prod}=(x_i-x_j)$

上面的式子表示：行列式D的值为所有的的乘积（其中i>j）

例如：

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 \end{vmatrix}$ 的值为：

练习

题1

三阶行列式 $\begin{vmatrix} a &a^2 &a^3 \\ b &b^2 &b^3 \\ c &c^2 &c^3 \end{vmatrix}$ =（）

A.（b-a）（c-a）（c-b） B.abc（b-a）（c-a）（c-b）

C.（b+a）（c+a）（c+b） C.abc（b+a）（c+a）（c+b）

原式= $abc\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 \\ 1& b & b^2\\ 1& c &c^2 \end{vmatrix}=abc(b-a)(c-a)(c-b)$

因此答案选择： B.abc（b-a）（c-a）（c-b）

题2

四阶行列式 $\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}$ =（）

A.-120 B.120 C.24 D.-24

$\begin{matrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}\overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 2 &-1 &3 &4 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}&= & & \\ (4-2)[4-(-1)](4-3)(3-2)[3-(-1)][(-1)-2]& =& & \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2\times5\times1\times1\times4\times(-3) &= &-120 & \\ & & & \end{matrix}$

因此答案选择： A.-120

克拉默法则

有下列方程组：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= &b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= &b_2 \\ ... &... &... \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n &= &b_m \end{matrix}\right.$

其系数行列式 $\left | A \right |\neq 0$ ，则方程组解唯一。

$x_i=\frac{\left | A_i \right |}{\left | A \right |}$

$\left | A_i \right |$ 意为把行列式中的第 i 列替换为

例如，

$x_2=\frac{\left | A_2 \right |}{\left | A \right |}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} &b_{1} &... &a_{1n} \\ a_{21} &b_{2} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &b_m &... &a_{mn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &a_{m2} &... &a_{mn} \end{vmatrix}}$

学习自：https://www.bilibili.com/video/BV1xM41147Mj?vd_source=11f3dfb26d11a6a6832ed5c079654e1c

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任何一个对象从一个JVM传输到另一个JVM，都要经过序列化为二进制数据(或者字符串等其他格式，比如JSON)，然后在反序列化为Java对象，这最后都是通过二进制的数据在不同的JVM之间传输(一般是通过Socket和二进制的数据传输)，本文定义一个比较符合工作中。 1. 定义三个POJO Person类 package com.tom.hes
【Hadoop十四】Hadoop提供的脚本的功能 bit1129 hadoop
1. hadoop-daemon.sh 1.1 启动HDFS ./hadoop-daemon.sh start namenode ./hadoop-daemon.sh start datanode 通过这种逐步启动的方式，比start-all.sh方式少了一个SecondaryNameNode进程，这不影响Hadoop的使用，其实在 Hadoop2.0中，SecondaryNa
中国互联网走在“灰度”上 ronin47 管理灰度
中国互联网走在“灰度”上（转）文/孕峰第一次听说灰度这个词，是任正非说新型管理者所需要的素质。第二次听说是来自马化腾。似乎其他人包括马云也用不同的语言说过类似的意思。灰度这个词所包含的意义和视野是广远的。要理解这个词，可能同样要用“灰度”的心态。灰度的反面，是规规矩矩，清清楚楚，泾渭分明，严谨条理，是决不妥协，不转弯，认死理。黑白分明不是灰度，像彩虹那样
java-51-输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字。 bylijinnan java
public class PrintMatrixClockwisely { /** * Q51.输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字。例如：如果输入如下矩阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
mongoDB 用户管理开窍的石头 mongoDB用户管理
1:添加用户第一次设置用户需要进入admin数据库下设置超级用户（use admin） db.addUsr({user:'useName',pwd:'111111',roles:[readWrite,dbAdmin]}); 第一个参数用户的名字第二个参数
[游戏与生活]玩暗黑破坏神3的一些问题 comsci 生活
暗黑破坏神3是有史以来最让人激动的游戏。。。。但是有几个问题需要我们注意玩这个游戏的时间，每天不要超过一个小时，且每次玩游戏最好在白天结束游戏之后，最好在太阳下面来晒一下身上的暗黑气息，让自己恢复人的生气 &nb
java 二维数组如何存入数据库 cuiyadll java
using System; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; using System.Xml; using System.Xml.Serialization; using System.IO; namespace WindowsFormsApplication1 {
本地事务和全局事务Local Transaction and Global Transaction(JTA) darrenzhu java spring local global transaction
Configuring Spring and JTA without full Java EE http://spring.io/blog/2011/08/15/configuring-spring-and-jta-without-full-java-ee/ Spring doc -Transaction Management http://docs.spring.io/spri
Linux命令之alias - 设置命令的别名，让 Linux 命令更简练 dcj3sjt126com linux alias
用途说明设置命令的别名。在linux系统中如果命令太长又不符合用户的习惯，那么我们可以为它指定一个别名。虽然可以为命令建立“链接”解决长文件名的问题，但对于带命令行参数的命令，链接就无能为力了。而指定别名则可以解决此类所有问题【1】。常用别名来简化ssh登录【见示例三】，使长命令变短，使常用的长命令行变短，强制执行命令时询问等。常用参数格式：alias 格式：ali
yii2 restful web服务[格式响应] dcj3sjt126com PHP yii2
响应格式当处理一个 RESTful API 请求时，一个应用程序通常需要如下步骤来处理响应格式：确定可能影响响应格式的各种因素，例如媒介类型，语言，版本，等等。这个过程也被称为 content negotiation。资源对象转换为数组，如在 Resources 部分中所描述的。通过 [[yii\rest\Serializer]]
MongoDB索引调优（2）——[十] eksliang mongodb MongoDB索引优化
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2178555 一、概述上一篇文档中也说明了，MongoDB的索引几乎与关系型数据库的索引一模一样，优化关系型数据库的技巧通用适合MongoDB，所有这里只讲MongoDB需要注意的地方二、索引内嵌文档可以在嵌套文档的键上建立索引，方式与正常
当滑动到顶部和底部时，实现Item的分离效果的ListView gundumw100 android
拉动ListView，Item之间的间距会变大，释放后恢复原样； package cn.tangdada.tangbang.widget; import android.annotation.TargetApi; import android.content.Context; import android.content.res.TypedArray; import andr
程序员用HTML5制作的爱心树表白动画 ini JavaScript jquery Web html5 css
体验效果：http://keleyi.com/keleyi/phtml/html5/31.htmHTML代码如下： <!DOCTYPE html> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"><head><meta charset="UTF-8" > <ti
预装windows 8 系统GPT模式的ThinkPad T440改装64位 windows 7旗舰版 kakajw ThinkPad 预装改装 windows 7 windows 8
该教程具有普遍参考性，特别适用于联想的机器，其他品牌机器的处理过程也大同小异。该教程是个人多次尝试和总结的结果，实用性强，推荐给需要的人！缘由小弟最近入手笔记本ThinkPad T440，但是特别不能习惯笔记本出厂预装的Windows 8系统，而且厂商自作聪明地预装了一堆没用的应用软件，消耗不少的系统资源（本本的内存为4G，系统启动完成时，物理内存占用比
Nginx学习笔记 mcj8089 nginx
一、安装nginx 1、在nginx官方网站下载一个包，下载地址是： http://nginx.org/download/nginx-1.4.2.tar.gz 2、WinSCP(ftp上传工
mongodb 聚合查询每天论坛链接点击次数 qiaolevip 每天进步一点点学习永无止境 mongodb 纵观千象
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java术语（PO/POJO/VO/BO/DAO/DTO） Luob. DAO POJO DTO po VO BO
PO(persistant object) 持久对象在o/r 映射的时候出现的概念,如果没有o/r映射,就没有这个概念存在了.通常对应数据模型(数据库),本身还有部分业务逻辑的处理.可以看成是与数据库中的表相映射的java对象.最简单的PO就是对应数据库中某个表中的一条记录,多个记录可以用PO的集合.PO中应该不包含任何对数据库的操作. VO(value object) 值对象通
算法复杂度 Wuaner Algorithm
Time Complexity & Big-O： http://stackoverflow.com/questions/487258/plain-english-explanation-of-big-o http://bigocheatsheet.com/ http://www.sitepoint.com/time-complexity-algorithms/

按字母分类： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 其他