算法导论复习（九）| 图树周游，回溯法，分支限界，最大流

图树周游

在二元树的周游中，以D、L、R分别代表访问结点的信息段、访问左子树、访问右子树。则可能的顺序有：
LDR：中根次序周游（中根遍历）
LRD：后根次序周游（后根遍历）
DLR：先根次序周游（先根遍历）
RDL：逆中根次序周游
RLD：逆后根次序周游
DRL：逆先根次序周游

一棵二元树可由中根遍历序列＋先根遍历序列、或中根遍历序列＋后根遍历序列唯一确定。但不能由先根遍历序列＋后根遍历序列唯一确定。

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D_Search：使用栈保存未被检测的结点，结点按照宽度优先的次序被访问并被依次压入栈中，然后以相反的次序出栈进行新的检测。新的检测结点是最新被访问但未被检测的结点。

BFS：使用队列保存未被检测的结点。结点按照宽度优先的次序被访问和进、出队列。

简记：
Dsearch每次将后继节点放入栈，遍历下一层时排最后的后继节点出栈。
BFS每次遍历时先进先出。

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回溯法

回溯法思想：
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)，这个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始节点进行搜索

• 开始节点是一个活节点（也是 E-节点：expansion node）
• 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新节点将变成一个活节点和新的E*-*节点，旧的E-节点仍是一个活节点。
• 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了（即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。
• 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时，搜索过程结束。

状态空间树

活结点：自己已经生成而其所有的儿子结点还没有全部生成的结点。
E-结点（正在扩展的结点）：当前正在生成其儿子结点的活结点。
死结点：不再进一步扩展或者其儿子结点已全部生成的生成结点。

构建方法：

回溯法:
当前E-结点R，生成一个新的儿子C，则C就变成一个新的E-结点，对子树C完全检测后，R结点再次成为E-结点
分枝-限界方法:
一个E-结点一直保持到变成死结点为止

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限界函数
“剪枝”
回溯法与分支限界法中，使用限界函数杀死还没有全部生成其儿子结点的那些活结点。

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子集和数问题

描述：给一个n元集合(w1, w2, …, wn)和数M，均为正数。要求找出wi的和数等于M的所有子集。

识别状态空间树：

图中，框中第一个数为目前的总数，第二个数为遍历到第几个数（递归深度），第三个数为剩余数的和。

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回溯法伪代码

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分支限界

• FIFO检索：活结点表采用队
• LIFO检索：活结点表采用栈

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限界的目的
减少算法的盲目性，减小搜索空间，从而降低计算量
下界
l使用使得c^(X) <= c(X)的成本估计函数c^(·)给出可由任一结点X得出的解的下界
上界
l利用上界U，使具有c^(X)>U的所有活结点X可以被杀死

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LC检索
基本思想：选取成本估计函数值最小的那个作为E-结点。

最大流

反平行边
处理：加一个结点，入边边权=出边边权。

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残存网络
入边改为容量减流量，出边改为流量（即反悔）。

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求解最大流：Ford-Fulkerson方法（不重要）
方法:（1）从流值为0的初始流开始
​ （2）通过某种方法，对流值进行增加
​ （3）确认无法增加流值，即得到最大流

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增广路径

一般找图中最上面的边。记得找后修改原图中的边权。

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切割

最大流值等于最小切割的容量。
定理 ：设f为流网络G=(V,E)中的一个流，该流网络的源结点为s，汇点为t，则下面的条件是等价的：
（1）f是G的一个最大流
（2）残存网络 不包括任何增广路径
（3）|f|=c(S,T) ，其中（S,T）是流网络G的某个切割

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Edmonds-Karp算法

仍然是基于Ford-Fulkerson方法，使用广度优先搜索寻找源结点到汇点的最短路径作为增广路径，得到不依赖于最大流值的运行时间上界。

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马上就要考试了QAQ