麻省理工牛人眼中的数学体系

选自麻省理工牛人眼中的数学体系

一、为什么要深入数学的世界

我们相信，一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视化过程。微观意义下的单个原子运动和宏观意义下的整体分布的变换存在存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。
作者在探索过程中发现：

• 原有的数学基础已经远远不够适应他对这些问题的升入研究。
• 在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多应用科学研究者重视。

二、集合论：现代数学共同基础

选择公理(Axiom of choice)任意一群非空集合，一定可以从每个集合中拿出一个元素Banach-Tarski分球定理：“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换后，能合成两个一样大小的球。”
几个依赖选择公理的定理：

• 拓扑学：Baire Category Theorem
• 实分析：Lebesgueb不可测集存在性
• 泛函分析定理：Hahn-Banach Extension Theorem,Banach-steinhaus Theorem(Uniform boundedness principle),Open Mapping Theorem,Closed grapg Theorem.
  现代意义下的两大分支：分析、代数。

三、分析：在极限基础上建立的宏伟大厦

3.1微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西

“无穷小量”幽灵,"第二次数学危机"
19世纪，分析的世界仍然有一些挥之不去的乌云，其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”工程师需要对分段连续函数积分

3.2实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析

可积性关键在于“不连续的点足够少”，数学家构造出了很多在无限多处不连续的可积函数，说明有限和无限并不是一种合适的标准。
在探讨“点集大小”这个问题时，实数理论建立起来，标志是对实数完备性进行刻画的几条等价定理。
如何测量“点集大小”勒贝格创造性地把关于集合的代数和Outer content概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)进一步建立了以测度为基础的积分-勒贝格积分。
在现代概率论基础上，许多传统分支得到了极大的丰富，最有代表性的包括：1、鞅论(Martingale)——由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融。2、布朗运动——连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析，包括随机积分(对随机过程路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ita integral))和随机微分方程。

3.3拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础

很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的，很多特性可以抽象出来，推广到更一般的空间里面，对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学的建立。
拓扑学的四个C构成了它的核心：
1.Closed set闭集
经过相当长的时间，人们才认识到：开集的概念是连续性的基础，而闭集对极限运算封闭——而极限又是分析的根基。
2.Continuous function连续函数

• epsilon-delta在微积分中
• “开集原象是开集的函数”在拓扑的定义
• “连续函数是保持极限运算函数”本质
  类比:

同态映射	乘法
连续函数	极限

3.Connected set连通集
Path connected:任两点有来连续路径相连，连通性两个重要用场：一、用于证明一般的中值定理。二、代数拓扑、拓扑群论和李群论中讨论根本群的阶。
4.Compact set紧集
“紧集的任意开覆盖存在有限子覆盖”
对于讨论拓扑学定理：从无限到有限转换，对于分析：“紧集中数列必存在收敛子列”

3.4微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构

把微分、求导、积分推广到拓扑空间，就是微分几何。
最重要的应用：建立在它之上的另外一个分支：李群和李代数——这是数学中两个家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析，以及在其基础上的调和分析。

四、代数：一个抽象的世界

学过抽象代数的都知道，基于几条最简单的规则，可以导出非常多重要结论，而这些结论可以用到一切满足这些简单规则的地方。

4.1关于抽象代数

进一步研究往往分为两个流派：研究有限离散代数结构(有限群和有限域)通常用于数论、编码和整数方程这些地方。另一个流派是研究连续的代数结构，通常和拓扑与分析联系在一起。

4.2线性代数：“线性”的基础地位

我们常用的非线性方法包括流形和Kernelization，而两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射；而Kernerlization通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另一个线性空间。

4.2.1泛函分析：从有限维向无限维迈进

在泛函分析中，空间中元素还是叫向量，但是线性变换通常会叫做"算子"(Operator)除了加法数乘，这里还加入了别的运算，如加入了范数，表达“向量长度”或“元素的距离”，这里空间叫做“赋范线性空间”，再进一步，加入内积，“内积空间”
1、所有的有限维空间都是完备的，很多无限维空间都是不完备的(如闭区间上的连续函数)，在这里完备的空间有特殊的名称：完备的赋范线性空间叫Banach空间，完备的内积空间叫Hilbert空间
2、在有限维空间中空间和它的对偶空间是完全同构的，而在无限维空间中它们存在着细微的差别。
3、在有限维空间中，所有线性变换都是有界变换，而在无限维中，很多算子是无界的，最重要的一个例子是给函数求导。
4、在有限维空间中，一切有界闭集都是紧的，而在无限维空间中单位球都不是紧的，也就是说，可以在单位球中撒入无限个点，而不出现一个极限点。
5、在有限维空间中，线性变换的谱相当于全部的特征值，在无限维空间中，算子的谱的结构比这个复杂得多，还有approxiamate point spectrum和residual spectrum，形成了一个分支——算子谱论(Specttrum theory)
6、在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维子空间中，这就不一定了，具有这种良好特性子空间有专门名称：Chebyshev space这个概念是现代逼近理论的基础。

4.2.2继续向前：Banach代数、调和分析、李代数

泛函分析的两个分支：一、Banach代数，在Banach空间引入乘法(值域无需有界算子、平方可积函数\ldots)
二、调和分析(傅里叶分析和小波分析)

五、分析与代数的结合

分析+线代=泛函分析，调和分析
分析+群论=李群，李代数(给连续群上元素赋予了代数结构)
在一定条件下，通过李群和李代数的联系，它与几何变换相结合变成了线性运算，将子群化成线性子空间，为Learning中许多重要模型和算法引入到对几何的运动建模创造了必要条件，因此，我们相信李群和李代数对于Vision有着重要意义，只不过学习的道路可能会很艰辛，在它之前可能要学习很多数学。