2018-12-06 第十四章 代数系统

14.1 二元运算及其性质

1.设S是一个非空集合，映射称为S上的一个n元运算。

2.二元运算：封闭的/可交换的/可结合的/幂等的

3.且,则称运算*是关于·可分配的

4.*和·是可换运算，且及，则称运算*和·满足吸收律。

14.2代数系统的定义和特异元

1.一个非空集合S连同若干个定义在 S 上的运算所组成的系统称为一个代数系统，记为。

2.特异元。

3.设是一个代数系统，则

    ①如果使,,则称e为（代数系统）的幺元（或单位元）

    ②如果存在,使，则称为系统的零元

    ③,如果a · a = a,则称a是系统的幂等元。

4.设在代数系统中中，e是幺元，a是S中的一个元素。如果存在使得a·b=b·a=e，则称b是a的逆元，记为.

5.设是一个代数系统。如果存在幺元，则幺元是唯一的；如果存在零元，则零元是唯一的；如果元a有逆元，且“·”可结合，则逆元是唯一的。

6.设是一个代数系统，则

    ①当“·”是封闭的，称为广群。

    ②如果是广群，且“·”是可结合运算，则称是半群。

    ③如果是半群，且存在幺元，则称为含幺半群

    ④如果为含幺半群，且每个元素都有逆元，则称为群。