0-1背包问题

问题定义：
有一个容量为n的背包以及m件物品。物品的重量为w=[w1,w2,...,wm]，价值为v=[v1,v2,...,vm]。现在要拾趣这些物品，使得背包的价值最大。

动态规划：
定义F(i,j): 表示当背包容量为j时, 从前i个物品中可以获得的最佳价值。那么对于当前的物品i，应先判断它是否可以被装进背包中，如果可以，那么有两种选择：拿或者不拿。
决定拿该物品，那么背包的价值就变为F(i-1,j-w(i)) + v(i)；决定不拿，那么价值就为F(i-1,j)。如何做这个决定？直接比较二者的价值，以选择出价值最优的一项。

if w[i] <= j:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])
else:
    dp[i][j] = dp[i-1][j]

这里假设有4个物品，体积分别为 [2,3,5,1]
价值分别为 [300,500,620,370]
如果我有一个背包容量为5，那么这个背包在放入物品后可能的剩余容量可以是：[0,1,2,3,4,5]

初始化：
当我选择最后一个物品时（第4个物品），物品的体积为1，价值为370，我的背包容量此时为j。那么假设我可以放置这个物品，我就要知道dp[3][j-w[4]]的值是多少。依此类推，我们需要知道当i=1时背包的价值。为了方便程序的执行，我们设定一个初始值，即当i=0时（没有物品可取），背包的价值皆为0。那么当我们执行i=1时，依然可以套用公式F(i-1,j-w(i)) + v(i)

执行过程：

1. 首先初始化表格

image.png

2. 填充表格（计算过程）
   dp[1][0]: w[1] = 2 > 0, 所以dp[1][0] = dp[0][0] = 0
   dp[1][1]: w[1] = 2 > 1, 所以dp[1][1] = dp[0][1] = 0
   dp[1][2]: w[1] = 2 = 2, 所以dp[1][2] = max(dp[1][2-2]+v[1], dp[1][2]) = max(dp[1][0]+300, dp[1][2]) = 300
   ......
   依此类推，填充完表格

image.png

所以最大的价值应为870

#背包容量
n = 5

v = [300,500,620,370,]
w = [2,3,5,1]
#物品个数
m = len(v)

dp = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(m+1)]
max_dp = 0
for i in range(1,m+1):
    for j in range(1,n+1):
        if w[i-1] <= j:
        #这里w、v和dp的索引不一致，因此改为w[i-1]，也可以在w、v的list前补0.
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1], dp[i-1][j]) 
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        max_dp = max(max_dp, dp[i][j])
print(max_dp)