经过指定点的最短路径

题目描述：

给出一个有 n 个顶点的有向网，指定其中 k 个顶点（ 不含顶点 1 和顶点 n ），求从顶点 1 到顶点 n 的，经过那 k 个顶点的最短路。

输入：

第一行是 顶点数 n 和 弧数目 e 。 1 ≤ n ≤ 40 ，1 ≤ e ≤ n × n
接下来是 e 行，每行三个整数 i , j , v ( 其中 0 < i, j ≤ n ， 0 < v ≤ 100 ) ，表示从 顶点 i 到 顶点 j 的一条权值为 v 的弧。
接下来是一个正整数 k ( 1 ≤ k ≤ n - 2 )，接下来是 k 个正整数，表示必须经过的 k 个顶点。

输出：

如果不存在满足条件的路径，输出一行 "No solution"；
否则，输出两行：
第 1 行，该最短路的长度；
第 2 行从顶点 1 到顶点 n 的最短路，顶点之间用一个空格分隔，要求按路径的顶点次序，前一个顶点必须有弧指向后一个顶点

思路：暴力枚举所有满足条件的路径，计算路径长度并不断更新最短距离值。

算法实现：
1.跑一遍Floyd，求各顶点之间的最短路径
2.对所有指定点进行全排列，对每个排列计算：顶点1到序列首顶点的距离+序列中相邻顶点之间的距离+序列末顶点到顶点n的距离，并不断更新得到最短路径
3.特判不存在满足路径的情况

代码如下：

#include
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f //设无穷大值

int n, m, k, idx;
int dist[45][45];   //存储各顶点间的最短路
int path[45][45];   //用于floyd存储路径
int must[40];       //存储指定点序列
char temp[45], anspath[45];

void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    path[i][j] = k;
                }                                  
}

//获取点a到点b最短路的中间路径(路径中不含a，b)
void getpath(int a, int b) {
    if (path[a][b] == -1)
        return;
    else {
        int k = path[a][b];
        getpath(a, k);
        anspath[idx++] = k;
        getpath(k, b);
    }
}

//将“点1沿着当前must数组中指定点的顺序走到点n的路径”保存到anspath数组
void savpath() {
    anspath[idx++] = 1;
    getpath(1, must[0]);
    for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
        anspath[idx++] = must[i];
        getpath(must[i], must[i + 1]);
    }
    anspath[idx++] = must[k - 1];
    getpath(must[k - 1], n);
    anspath[idx++] = n;
}     

//返回 点1沿着当前must数组中指定点的顺序走到点n 的路径长度
int getdis() {
    int distance = dist[1][must[0]];
    if (dist[1][must[0]] == INF)
        return INF + 1;
    for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
        if (dist[must[i]][must[i + 1]] == INF)
            return INF + 1;
        distance += dist[must[i]][must[i + 1]];
    }
    if (dist[must[k - 1]][n] == INF)
        return INF + 1;
    distance += dist[must[k - 1]][n];
    return distance;
}

int main() {

    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(path, -1, sizeof path);
    scanf("%d%d", &n, &m);

    int a, b, w;
    while (m--) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        dist[a][b] = min(dist[a][b], w);
    }
    floyd();

    scanf("%d", &k);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        scanf("%d", &must[i]);
    
    //判断点1能否走到点n
    if (dist[1][n] == INF) {
        printf("No solution\n");
        return 0;
    }

    //使用next_permutation函数前先对数组进行排序
    sort(must, must + k);
    int mindis = INF;
    do {
        int d = getdis();
        if (mindis > d) {//如果存在更短的路径则更新答案，并把路径存到anspath[]
            mindis = d;
            idx = 0;
            savpath();
        }
    } while (next_permutation(must, must + k));

    printf("%d\n", mindis);
    for (int i = 0; i < idx; i++)
        printf("%d ", anspath[i]);

    return 0;
}

本题的一个坑：使用dfs算法无法通过。

如果通过使用dfs算法记录所有点1到达点n并且经过指定点的路径，在其中取最小值并不正确。因为dfs算法要求路径中的点最多只出现一次，但经过指定点的最短路的路径中可能存在同一个点出现多次的情况，而这种情况恰好被dfs排除，因此本题不用dfs。

例：在如下图中，求点1经过点2，点3到达点4的最短路径和长度

如果我们用dfs求解，得到的最短路径为：1->2->3->4，长度为420

而用暴力方法得到的最短路答案为：1->2->3->2->4，长度为40，其中点2在路径中出现过两次

显然，后者所求的最短路径正确