LeetCode刷题--- 不同路径

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力扣递归算法题

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数据结构与算法

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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不同路径

题目链接：不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

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解法

题目解析

1. 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
2. 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。
3. 总共有多少条不同的路径。

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

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算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

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• 状态显示

        dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种方式。

• 状态转移方程

如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

• 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
• 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就是： dp[i][j] = dp[i - 1] [j] + dp[i][j - 1] 。

        

• 初始化（防止填表时不越界）

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
• 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

• 填表顺序

「从左往右」

• 返回值

  返回 dp[m][n] 的值  

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代码实现

class Solution 
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0)); // 创建⼀个 dp表
        dp[0][1] = 1; // 初始化
        
        // 填表
        for (int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        // 返回结果
        return dp[m][n];
    }   
};