leetcode 动态规划(斐波那契数列、 爬楼梯、使用最小花费爬楼梯)
509. 斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30
动态规划（版本一）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
# 排除 Corner Case
if n == 0:
return 0
# 创建 dp table
dp = [0] * (n + 1)
# 初始化 dp 数组
dp[0] = 0
dp[1] = 1
# 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
for i in range(2, n + 1):
# 确定递归公式/状态转移公式
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
# 返回答案
return dp[n]
动态规划（版本二）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
dp = [0, 1]
for i in range(2, n + 1):
total = dp[0] + dp[1]
dp[0] = dp[1]
dp[1] = total
return dp[1]
动态规划（版本三）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
prev1, prev2 = 0, 1
for _ in range(2, n + 1):
curr = prev1 + prev2
prev1, prev2 = prev2, curr
return prev2
递归（版本一）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n < 2:
return n
return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶
动态规划（版本一）
空间复杂度为O(n)版本
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
动态规划（版本二）
空间复杂度为O(3)版本
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
dp = [0] * 3
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
total = dp[1] + dp[2]
dp[1] = dp[2]
dp[2] = total
return dp[2]
动态规划（版本三）
空间复杂度为O(1)版本
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
prev1 = 1
prev2 = 2
for i in range(3, n + 1):
total = prev1 + prev2
prev1 = prev2
prev2 = total
return prev2
746. 使用最小花费爬楼梯
旧题目描述：
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
示例 1：
输入：cost = [10, 15, 20]
输出：15
解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。
示例 2：
输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出：6
解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。
提示：
cost 的长度范围是 [2, 1000]。
cost[i] 将会是一个整型数据，范围为 [0, 999] 。
动态规划（版本一）
class Solution:
def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
dp = [0] * (len(cost) + 1)
dp[0] = 0 # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力
dp[1] = 0 # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力
for i in range(2, len(cost) + 1):
# 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步
# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
return dp[len(cost)] # 返回到达楼顶的最小花费
动态规划（版本二）
class Solution:
def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
dp0 = 0 # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力
dp1 = 0 # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力
for i in range(2, len(cost) + 1):
# 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步
# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，得到当前步的最小花费
dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2])
dp0 = dp1 # 更新dp0为前一步的值，即上一次循环中的dp1
dp1 = dpi # 更新dp1为当前步的最小花费
return dp1 # 返回到达楼顶的最小花费
动态规划（版本三）
class Solution:
def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
dp = [0] * len(cost)
dp[0] = cost[0] # 第一步有花费
dp[1] = cost[1]
for i in range(2, len(cost)):
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
# 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
return min(dp[-1], dp[-2])
动态规划（版本四）
class Solution:
def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
n = len(cost)
prev_1 = cost[0] # 前一步的最小花费
prev_2 = cost[1] # 前两步的最小花费
for i in range(2, n):
current = min(prev_1, prev_2) + cost[i] # 当前位置的最小花费
prev_1, prev_2 = prev_2, current # 更新前一步和前两步的最小花费
return min(prev_1, prev_2) # 最后一步可以理解为不用花费，取倒数第一步和第二步的最少值