线性随机IFS迭代法(C++)

IFS是迭代函数系统(Iterated Function System)的缩写. 它是一种数学工具, 常用于计算机图形学中生成分形图像. 在IFS中, 一组迭代函数被定义, 并且从一个简单的初始值开始, 通过重复应用这些函数, 可以生成复杂的结构. 这些迭代函数通常具有某种相似性或变换性质, 例如平移, 缩放, 旋转等. 在计算机图形学中, IFS用于创建分形图像, 其中每个像素或像素块被迭代函数处理, 以生成最终的图像. 这种方法可以生成具有自然现象(如山脉, 云朵, 树等)的复杂结构的图像. 此外, 随机IFS是一种特殊的IFS, 其中迭代函数和初始值都是随机选择的. 这种方法通常用于创建抽象艺术和计算机生成的艺术作品.

在本文仅在平面上考虑线性随机IFS迭代.

算法描述

在二维平面上, 我们有如下的仿射变换:
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)$$

对于一个比较复杂的图形, 可能需要多个不同的仿射变换来实现, 仿射变换族$\{{\omega }_n\}$控制着图形的结构和形状, 由于仿射变换的形式是相同的, 所以不同的形状取决于仿射变换的系数. 另外, 仿射变换族$\{{\omega }_n\}$中, 每一个仿射变换被调用的概率不一定是等同的, 也就是说, 落入图形各部分中点的数目不一定相同, 这就需要引进一个新的量, 即仿射变换$\omega$被调用的概率$P$. 从而, 6个仿射变换系数$\{a,b,c,d,e,f\}$和一个概率$P$便组成了线性随机IFS迭代最关键的部分——IFS码.

给定一个IFS码, 我们便可以进行多次迭代, 最终生成所需的图形.

线性随机IFS迭代法可描述如下:

• 输入：IFS码 $\mathbf{A}$，迭代次数 $n$，迭代初值 ${\mathbf{x}}_0$
• 输出：迭代路径 $p$

1. 初始化 $P$ 为 $A$ 的最后1列逐元素累加
2. 对于 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 进行以下步骤：
   • 生成 $[0,1)$ 均匀分布的随机数 $r$
   • 在 $P$ 中找到第一个大于 $r$ 的下标 $d$
   • 利用 $A$ 的第 $d$ 行进行仿射变换并加到 $p$ 内
3. 返回 $p$

算法实现

首先预处理如下:

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace arma;
using namespace std;

再实现线性随机IFS迭代:

/*
 * 线性随机IFS迭代
 * ifs : IFS码
 * n   : 迭代次数
 * x0  : 迭代初值
 * path: 迭代过程保存路径
 * e   : 实数比较精度
 *
 * 返回(bool):
 *  true : 迭代失败
 *  false: 迭代成功
 */
bool IFS_iteration(const mat &ifs, unsigned n, const char *path, vec x0 = randu(2), const double &e = 1e-6)
{
    if (ifs.n_cols != 7 || x0.n_elem != 2)
        return true;
    if (!n)
        return true;
    vec p = cumsum(ifs.col(6));
    if (abs(p.at(p.n_elem - 1) - 1.) > e)
        return true;
    FILE *file;
    if (fopen_s(&file, path, "w"))
        return true;
    fprintf(file, "x,y\n%f,%f", x0.at(0), x0.at(1));
    static default_random_engine engine(time(nullptr));
    static uniform_real_distribution<double> distribution;
    do
    {
        double d(distribution(engine));
        unsigned i(0);
        while (p.at(i) <= d)
            if (++i == p.n_elem)
            {
                --i;
                break;
            }
        d = ifs.at(i, 0) * x0.at(0) + ifs.at(i, 1) * x0.at(1) + ifs.at(i, 4);
        x0.at(1) = ifs.at(i, 2) * x0.at(0) + ifs.at(i, 3) * x0.at(1) + ifs.at(i, 5);
        x0.at(0) = d;
        fprintf(file, "\n%f,%f", x0.at(0), x0.at(1));
    } while (--n);
    fclose(file);
    return false;
}

实例分析

已知某树木的IFS码如下所示:
$$A=\left(\begin{array}{ccccccc}0.06& 0& 0& 0.6& 0& 0& 0.1\\ 0.04& 0& 0& -0.5& 0& 1& 0.1\\ 0.46& 0.32& -0.34& 0.38& 0& 0.6& 0.1\\ 0.48& -0.15& 0.17& 0.42& 0& 1& 0.23\\ 0.43& 0.37& -0.26& 0.48& 0& 1& 0.23\\ 0.42& -0.36& 0.35& 0.31& 0& 0.8& 0.24\end{array}\right)$$

代入程序, 利用Origin可绘制如下树木迭代相图: