EM 算法（Expectation Maximization）

EM 算法是一种重要的解决含有隐变量问题的参数估计方法

算法释义

EM算法 是用来解决含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或者叫极大后验概率估计。它是一种迭代算法，每次迭代由两步组成：E 步，求期望，M 步，求极大。

算法步骤

输入：观测变量数据 Y，隐变量数据 Z，联合分布 P(Y, Z | θ)，条件分布 P(Z | Y, θ)
输出：模型参数 θ^(T)
(1) 初始化模型参数：θ⁽⁰⁾
(2) 迭代求解，直至收敛，t = 0,1,...,T：
a. E步，求期望：

b. M步，求极大：

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EM 算法的导出

极大似然估计的目标是极大化观测数据 Y 关于参数 θ 的似然函数，对其取对数，那么就是要极大化对数似然函数，即极大化 L(θ) ：

如果存在某一轮迭代的中间值 θ^(t)，则：

我们把不等式右边的这个函数成为 B(θ, θ^(t)) 函数，那么显然 B(θ, θ^(t)) 是 L(θ) 的一个下界，换句话说，如果 θ 尽可能使 B(θ, θ^(t)) 增大，那么 L(θ) 也会增大，所以下面极大化 B(θ, θ^(t))：

EM 算法是不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化的算法，因此 EM 算法不能保证找到全局最优解。

EM 算法的收敛性

pass

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参考资料

《统计学习方法》，李航