最大流（网络流）基础篇（剪辑）
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相关概念：
最大流：（Maximum-Flow Problem）
从源点 S 中间经过一些点，一些的物品运送到汇点 t 。
中途每两点间都有个最大运送物品数。
求从 s 到 t 最多能运送多少物品。
容量： 对于一条边 (u,v),它的物品上限（能够运送的物品最大数量）称为容量 （capacity），
记为 c(u,v) (对于不存在的边 (u,v) , c(u,v) = 0)
流量： 实际运送物品数称为流量 （flow）
规定：f(u,v) 和 f(v,u) 最多只有一个正数（可以均为 0），且 f(u,v) = - f(v,u)
PS：此图左边表示实际运送物品，右边表示最大容量。
结论：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
最大流问题中： 容量 c 和 流量 f 满足三个性质
容量限制 f(u,v) <= c(u,v)
斜对称：f(u, v) = -f(u,v)
流量平衡：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
目标：最大化 | f | = ∑ f(s,v) = ∑ f(u,t) 即从 S 点流出的净流量（=流入 t 点的净流量）
(s,v)∈E , (u,t)∈E
增广路算法：
残量：上图中每条边上的容量差 （称为残余流量，简称残量），
比如说上面第二个图中 V2 到 V4 残量为 14-11 = 3; V4 到 V2 残量为 0-（-11）= 11
算法基于事实：
残量网络中任何一个从 s 到 t 的有向道路都对应一条原图中的增广路【PS：不理解这个名词也没事继续看】。
只要求出该道路中所有残量的最小值 d,把对应的所有边上的流量增加 d 即可，这个过程称为增广。
也就是说只要有从起点 s 到终点 t 的路上存在流量，那么找出最小的残余流量 d
那么这个 d 肯定是满足这条路径的每一条边的，否则找不出这样的 d
那么这条路径上的每一条边的流量增加 d ，总流量增加 d 就好了。
然后继续找，直到找不到为止。
不难证明如果增广前的流量满足 3 个条件，那么增广之后任然满足。
显然只要残量网中存在增广路，流量就可以增大。
逆命题：如果残量网中不存在增广路，则当前流就是最大流，这就是著名的增广路定理。
问题：如何找路径？ DFS ms 很慢，用 BFS
queue<int> q;
memset(flow,0,sizeof(flow)); //初始化流量为 0
f = 0; // 初始化总流量为 0
for(;;) //BFS 找增广路
{
memset(a,0,sizeof(a)); // a[i]:从起点 s 到 i 的最小残量【每次for()时 a[] 重新清 0 因此同时可做标记数组 vis】
a[s] = INF; //起点残量无线大
q.push(s); //起点入队
while(!q.empty()) // BFS 找增广路
{
int u = q.front(); //取队首
q.pop(); // 出队
for(int v = 1; v <= n; v++) if(!a[v] && cap[u][v] > flow[u][v]) //找新节点 v
{
p[v] = u; q.push(v); //记录 v 的父亲节点,并加入 FIFO 队列
a[v] = min(a[u], cap[u][v]-flow[u][v]); // s-v 路径上的最小残量【从而保证了最后,每条路都满足a[t]】
}
}
if(a[t] == 0) break; // 找不到，则当前流已经是最大流 【t为终点】
for(int u = t; u != s; u = p[u]) // 从汇点往回走
{
flow[p[u]][u] += a[t]; // 更新正向流
flow[u][p[u]] -= a[t]; // 更新反向流
}
f += a[t]; // 更新从 S 流出的总流量
}
hdu 3549 Flow Problem【最大流增广路入门模板题】
最大流模板：
const int MAXN=20010;//点数的最大值
const int MAXM=880010;//边数的最大值
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Node
{
int from,to,next;
int cap;
}edge[MAXM];
int tol;
int head[MAXN];
int dep[MAXN];
int gap[MAXN];//gap[x]=y :说明残留网络中dep[i]==x的个数为y
int n;//n是总的点的个数，包括源点和汇点
void init()
{
tol=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
edge[tol].from=u;
edge[tol].to=v;
edge[tol].cap=w;
edge[tol].next=head[u];
head[u]=tol++;
edge[tol].from=v;
edge[tol].to=u;
edge[tol].cap=0;
edge[tol].next=head[v];
head[v]=tol++;
}
void BFS(int start,int end)
{
memset(dep,-1,sizeof(dep));
memset(gap,0,sizeof(gap));
gap[0]=1;
int que[MAXN];
int front,rear;
front=rear=0;
dep[end]=0;
que[rear++]=end;
while(front!=rear)
{
int u=que[front++];
if(front==MAXN)front=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].cap!=0||dep[v]!=-1)continue;
que[rear++]=v;
if(rear==MAXN)rear=0;
dep[v]=dep[u]+1;
++gap[dep[v]];
}
}
}
int SAP(int start,int end)
{
int res=0;
BFS(start,end);
int cur[MAXN];
int S[MAXN];
int top=0;
memcpy(cur,head,sizeof(head));
int u=start;
int i;
while(dep[start]<n)
{
if(u==end)
{
int temp=INF;
int inser;
for(i=0;i<top;i++)
if(temp>edge[S[i]].cap)
{
temp=edge[S[i]].cap;
inser=i;
}
for(i=0;i<top;i++)
{
edge[S[i]].cap-=temp;
edge[S[i]^1].cap+=temp;
}
res+=temp;
top=inser;
u=edge[S[top]].from;
}
if(u!=end&&gap[dep[u]-1]==0)//出现断层，无增广路
break;
for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
if(edge[i].cap!=0&&dep[u]==dep[edge[i].to]+1)
break;
if(i!=-1)
{
cur[u]=i;
S[top++]=i;
u=edge[i].to;
}
else
{
int min=n;
for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
if(edge[i].cap==0)continue;
if(min>dep[edge[i].to])
{
min=dep[edge[i].to];
cur[u]=i;
}
}
--gap[dep[u]];
dep[u]=min+1;
++gap[dep[u]];
if(u!=start)u=edge[S[--top]].from;
}
}
return res;
}
给边赋值时，养成习惯用加法，防止有重边！
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//最大流模板
//初始化：g[][],start,end
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const int MAXN=110;
const int INF=0x3fffffff;
int g[MAXN][MAXN];//存边的容量，没有边的初始化为0
int path[MAXN],flow[MAXN],start,end;
int n;//点的个数，编号0-n.n包括了源点和汇点。
queue<int>q;
int bfs()
{
int i,t;
while(!q.empty())q.pop();//把清空队列
memset(path,-1,sizeof(path));//每次搜索前都把路径初始化成-1
path[start]=0;
flow[start]=INF;//源点可以有无穷的流流进
q.push(start);
while(!q.empty())
{
t=q.front();
q.pop();
if(t==end)break;
//枚举所有的点，如果点的编号起始点有变化可以改这里
for(i=0;i<=n;i++)
{
if(i!=start&&path[i]==-1&&g[t][i])
{
flow[i]=flow[t]<g[t][i]?flow[t]:g[t][i];
q.push(i);
path[i]=t;
}
}
}
if(path[end]==-1)return -1;//即找不到汇点上去了。找不到增广路径了
return flow[end];
}
int Edmonds_Karp()
{
int max_flow=0;
int step,now,pre;
while((step=bfs())!=-1)
{
max_flow+=step;
now=end;
while(now!=start)
{
pre=path[now];
g[pre][now]-=step;
g[now][pre]+=step;
now=pre;
}
}
return max_flow;
}