图及图的相关算法（附习题）

遍历算法：

1. 深度优先搜索（DFS）：

   • 深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
   • 它通过尽可能深的遍历图的分支来实现目标，再回溯到前面的节点。
   • 通常使用递归或栈来实现。

2. 广度优先搜索（BFS）：

   • 广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
   • 它从根节点开始，沿着树的宽度遍历树的节点，直到找到目标节点为止。
   • 通常使用队列来实现。

图的最短路径相关的算法

下面是使用表格来说明Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和Kruskal算法的区别：

算法	适用范围	边权重	时间复杂度	空间复杂度	备注
Dijkstra算法	单源最短路径	非负权重	O((V+E)logV)	O(V)	适用于无向图或有向图，边权重为非负数
Bellman-Ford算法	单源最短路径	任意权重	O(VE)	O(V)	可以处理边权重为负数，但不能处理负权重环
Floyd-Warshall算法	所有顶点对之间的最短路径	任意权重	O(V^3)	O(V^2)	适用于有向图或无向图，可以处理负权重边，不能处理负权重环
Kruskal算法	最小生成树	任意权重	O(ElogE) 或 O(ElogV)	O(E+V)	适用于无向图，边权重可以为任意值，找到最小生成树的算法

以下是Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和Kruskal算法的计算方式的简要描述：

1. Dijkstra算法：

   • 从源节点开始，维护一个距离数组，记录从源节点到各个节点的当前最短距离。
   • 选择距离数组中最小的节点，并更新与该节点相邻的节点的距离。
   • 重复以上步骤，直到所有节点都被遍历。
   • 该算法使用优先队列来高效选择距禽数组中的最小节点。

2. Bellman-Ford算法：

   • 初始化距离数组为无穷大，源节点距离设为0。
   • 通过松弛操作，不断更新各个节点的距离，直到没有更新为止。
   • 重复上述步骤，直到所有边都被松弛。
   • 该算法可以处理边权为负数，但不能处理负权重环。

3. Floyd-Warshall算法：

   • 初始化一个二维数组来记录节点之间的最短距离，初始时该数组的值为边的权重。
   • 通过三重循环，不断更新节点之间的最短距离，直到所有节点之间的最短距离都被计算出来。
   • 该算法适用于计算所有节点对之间的最短距离，可以处理负权重边，但不能处理负权重环。

4. Kruskal算法：

   • 将所有边按照权重从小到大排序。
   • 依次选择权重最小的边，如果该边的两个节点不在同一个连通分量中，则将其加入最小生成树中。
   • 重复上述步骤，直到最小生成树中包含了所有的节点。
   • 该算法用于寻找最小生成树，可以处理任意权重的边。

习题

假设有一个有向加权图，图中的顶点用字母表示，边的权重用数字表示。我们以图中的顶点和边的信息来举一个Dijkstra算法的习题。

假设有以下有向加权图：

顶点：A, B, C, D, E

边和权重：(A, B, 4), (A, C, 2), (B, C, 5), (B, D, 10), (C, D, 3), (C, E, 2), (D, E, 4)

现在假设我们要从顶点A出发，使用Dijkstra算法来找到从A到其他顶点的最短路径和距离。我们可以按照以下步骤进行计算：

思路

1. 初始化距离数组，将A到各个顶点的距离初始化为无穷大，A到自身的距离初始化为0。
2. 选择A作为起始节点，更新A的邻接节点B和C的距离为A到B的距离为4，A到C的距离为2。
3. 选择当前距离数组中距离最小的节点C，更新C的邻接节点D和E的距离为A到D的距离为5，A到E的距离为4。
4. 选择当前距离数组中距离最小的节点B，更新B的邻接节点D的距离为A到D的距离为5。
5. 选择当前距离数组中距离最小的节点D，更新D的邻接节点E的距离为A到E的距离为4。
6. 所有节点的最短路径已经计算完毕，得到A到各个顶点的最短路径和距离。

这样就完成了使用Dijkstra算法来计算从A到其他顶点的最短路径和距离的过程。

具体的计算过程

当使用Dijkstra算法解决这个问题时，我们可以按照以下步骤进行计算：

1. 初始化距离数组，将A到各个顶点的距离初始化为无穷大，A到自身的距离初始化为0。

顶点	A	B	C	D	E
距离	0	∞	∞	∞	∞

2. 选择A作为起始节点，更新A的邻接节点B和C的距离：

   • A到B的距离为4
   • A到C的距离为2

顶点	A	B	C	D	E
距离	0	4	2	∞	∞

3. 选择当前距离数组中距离最小的节点C，更新C的邻接节点D和E的距离：

   • A到D的距离为5
   • A到E的距离为4

顶点	A	B	C	D	E
距离	0	4	2	5	4

4. 选择当前距离数组中距离最小的节点B，更新B的邻接节点D的距离：

   • A到D的距离为5

顶点	A	B	C	D	E
距离	0	4	2	5	4

5. 选择当前距离数组中距离最小的节点D，更新D的邻接节点E的距离：

   • A到E的距离为4

顶点	A	B	C	D	E
距离	0	4	2	5	4

这样就完成了使用Dijkstra算法来计算从A到其他顶点的最短路径和距离的过程。