洛谷[NOIP1998 普及组] 阶乘之和 （C语言，高精度加法，高精度×低精度，高精度阶乘）

[NOIP1998 普及组] 阶乘之和

题目描述

用高精度计算出 $S=1!+2!+3!+\cdots +n!$（$n\le 50$）。

其中 ! 表示阶乘，定义为 $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1$。例如，$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$。

输入格式

一个正整数 $n$。

输出格式

一个正整数 $S$，表示计算结果。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

9

提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 50$。

【其他说明】

注，《深入浅出基础篇》中使用本题作为例题，但是其数据范围只有 $n\le 20$，使用书中的代码无法通过本题。

如果希望通过本题，请继续学习第八章高精度的知识。

NOIP1998 普及组 第二题

分析

1. 我们分开计算，因为求得是阶乘之和，我们可以先算每个的阶乘（用到高精度阶乘），算好阶乘之后我们在相加（用到高精度加法）；
2. 高精度加法以及其他高精度算法可点击查看我往期文章，这里我着重讲一下高精度阶乘；
   ps：本来昨天写完高精度×高精度我还很开心，结果今天刷这题就打击到我了，居然还有个高精度×低精度，唉，学无止境啊，高精度系列算法看的太多，知识来源基本都来源于b站，指路：麦克老师讲算法、信息学万老师等。
3. 其实原理与高精度×低精度很类似，区别在与：
   （1）高精度阶乘数组长度未知，动态生成。
   （2）高精度阶乘不需要翻转数组。
   （PS：这些都不重要，把核心思想弄明白，我讲的这些就自然而然明白了，我写的越多，你们可能越不想看）
4. 此处补充一下高精度×低精度的思想：
   （1）将高精度的数拆开用数组存储，具体方法为定义 char 类型数组s存储要输入的值，再将其转化成 int 型存入 int 型数组a中，为了方便操作，再将其转置（以上步骤都与我最初写的高精度加法一样）；
   （2）低精度看题目要求是用 int 还是 long long；
   （3）拆开存入数组a后，逐位与低精度相乘，再进位，此处进位与加法进位不同，最后可能有多位进位，需单独处理；
   （4）核心代码：

int jinWei = 0;
	for (int i = 0; i < lena; i++) {
		a[i] = a[i]*n + jinWei;
		jinWei = a[i] / 10;
		a[i] = a[i] % 10;
	}
	
	//处理进位
	while (jinWei) {
		a[lena++] = jinWei % 10;
		jinWei = jinWei / 10;
	}

（5）别忘了处理前导0和逆着输出；
（6）图示理解（千言万语尽在图中）：

5. 阶乘，其实阶乘的核心代码也是上面的那个，只不过阶乘是 1×2×3×…×n，可以当成是高精度数 ×1×2×…×n，把高精度数初值设为1，即a[1] = 1，lena = 1，然后 ×1×2×…×n，×n个低精度的数而已，每次在乘的时候处理进位的同时，lena也会变（咋感觉自己罗里吧嗦的）
6. 阶乘完以后就可以调用高精度加法方法来求和了，最后输出结果完美结束！

完整代码

#include 

int c[10010] = {0};//数组c存放阶乘之和
int lenc = 0;

//高精度加
void add(int a[10010], int lena) {
	if (lena >= lenc) {
		lenc = lena + 1;
	}
	for (int i = 0; i < lenc; i++) {
		c[i] += a[i];
		c[i+1] += c[i] / 10;
		c[i] = c[i] % 10;
	}
}

void multi (int n) {	
	int a[10010] = {0};//数组a存放每一个阶段的阶乘
	int lena = 1;
	
	//高精度乘法（高精度×低精度）
	a[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//实现阶乘
		int jinWei = 0;
		for (int j = 0; j < lena; j++) {
			a[j] = a[j] * i + jinWei;
			jinWei = a[j] / 10;
			a[j] = a[j] % 10; 
		}
	
		//处理进位
		while (jinWei){
			a[lena++] = jinWei % 10;//数组a的长度动态增加，无法确定长度
			jinWei = jinWei / 10;
		}
	}

	add (a, lena);//调用高精度加法方法
}

int main () {
	int n, lena;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		multi(i);//调用阶乘方法
	}
	
	//处理前导0
	lenc = lenc - 1;
	while (c[lenc] == 0 && lenc >= 1){
		lenc--;
	}
	
	//输出
	for (int i = lenc; i>=0; i--) {
		printf("%d", c[i]);
	}
}

Last but not least ！！！
我写了这么多高精度算法，最容易犯的错误就是，我经常写错是 / 还是 %，一找找半天
本位是取余，进位是除。

若果有错，欢迎大家斧正！ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ