Java二叉树的遍历以及最大深度问题

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1、树的相关概念

1、树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

每个结点有零个或多个子结点；
没有父结点的结点为根结点；
每一个非根结点只有一个父结点；
每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

2、相关术语

1、结点的度

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

2、叶子结点

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

3、分支结点

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

4、结点的层次

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

5、结点的层序编号

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

6、树的度

树中所有结点的度的最大值

7、树的高度(深度)

树中结点的最大层次

8、森林

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

9、孩子结点

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

10、双亲结点(父结点)

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

11、兄弟结点

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

2、二叉树

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

1、相关二叉树

1、满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

2、完全二叉树

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

2、创建二叉查找树

1、API设计

结点类

类名	Node
构造方法	Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象
成员变量	1.public Node left:记录左子结点 2.public Node right:记录右子结点 3.public Key key:存储键 4.public Value value:存储值

二叉树

类名	BinaryTree
构造方法	BinaryTree()：创建BinaryTree对象
成员变量	1.private Node root:记录根结点 2.private int N:记录树中元素的个数
成员方法	1. public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2.private Node put(Node x, Key key, Value val)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树 3.public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 4.private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中，找出key对应的值 5.public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 6.private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 7.public int size():获取树中元素的个数

1、put方法实现思路

如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

如果当前树不为空，则从根结点开始：

如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

/**
     * 给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树
     * @param x 树节点
     * @param key 键
     * @param val 值
     * @return Node
     */
public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){
    //当树为空时，该节点为根节点
    if(null == x){
        size++;
        return new Node<>(key, val, null, null);
    }
    int compare = key.compareTo(x.key);
    //如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点
    if(0 < compare){
        x.right = put(x.right,key,val);
    }else if(0 > compare){
        //如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点
        x.left = put(x.left,key,val);
    }else {
        //如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值
        x.value = val;
    }
    return x;
}

2、get方法实现思路

从根节点开始：

如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

/**
     * 从指定的树x中，找出key对应的值
     * @param x 节点
     * @param key 键
     * @return 节点
     */
public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){
    if (null == x){
        return null;
    }
    int compare = key.compareTo(x.key);
    if(0 < compare){
        return getNode(x.right,key);
    }else if(0 > compare){
        return getNode(x.left, key);
    }else {
        return x.value;
    }
}

3、delete方法的实现思路

找到被删除结点；

找到被删除结点右子树中的最小结点minNode

删除右子树中的最小结点

让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树

让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

/**
     * 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
     * @param x
     * @param key
     * @return
     */
public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){
    if (null == x){
        return null;
    }
    int compare = key.compareTo(x.key);
    if(0 < compare){
        x.right = delete(x.right,key);
    }else if(0 > compare){
        x.left = delete(x.left,key);
    }else {
        //个数-1
        size--;
        //新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点
        if(x.right == null){
            return x.left;
        }if(x.left == null){
            return x.right;
        }
        //左右子结点都存在的情况下，找右子树最小的节点
        Node<Key, Value> minRight = x.right;
        while (null != minRight.left){
            minRight = minRight.left;
        }
        Node<Key, Value> node = x.right;
        while (node.left != null) {
            if (node.left.left == null) {
                node.left = null;
            } else {
                node = node.left;
            }
        }
        //让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
        minRight.left = x.left;
        minRight.right = x.right;
        //让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
        x = minRight;
    }
    return x;
}

4、完整代码

package com.xiaobear.BinaryTree;

/**
 * @Author xiaobear
 * @date 2021年07月30日 13:50
 * @Description 二叉树
 */
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {

    /**
     * 根节点
     */
    private Node<Key,Value> root;
    /**
     * 节点数量
     */
    private int size;

    public void put(Key key, Value val){
        root = put(root,key,val);
    }

    /**
     * 给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树
     * @param x 树节点
     * @param key 键
     * @param val 值
     * @return Node
     */
    public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){
        //当树为空时，该节点为根节点
       if(null == x){
           size++;
           return new Node<>(key, val, null, null);
       }
       int compare = key.compareTo(x.key);
       //如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点
        if(0 < compare){
            x.right = put(x.right,key,val);
        }else if(0 > compare){
            //如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点
            x.left = put(x.left,key,val);
        }else {
            //如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值
            x.value = val;
        }
        return x;
    }

    /**
     * 根据key，从树中找出对应的值
     * @param key 键
     */
    public Value getNode(Key key){
        return getNode(root,key);
    }

    /**
     * 从指定的树x中，找出key对应的值
     * @param x 节点
     * @param key 键
     * @return 节点
     */
    public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){
        if (null == x){
            return null;
        }
        int compare = key.compareTo(x.key);
        if(0 < compare){
            return getNode(x.right,key);
        }else if(0 > compare){
            return getNode(x.left, key);
        }else {
            return x.value;
        }
    }

    public void delete(Key key){
        root = delete(root, key);
    }

    /**
     * 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
     * @param x
     * @param key
     * @return
     */
    public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){
        if (null == x){
            return null;
        }
        int compare = key.compareTo(x.key);
        if(0 < compare){
            x.right = delete(x.right,key);
        }else if(0 > compare){
            x.left = delete(x.left,key);
        }else {
            //个数-1
            size--;
            //新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点
            if(x.right == null){
                return x.left;
            }if(x.left == null){
                return x.right;
            }
            //左右子结点都存在的情况下，找右子树最小的节点
            Node<Key, Value> minRight = x.right;
            while (null != minRight.left){
                minRight = minRight.left;
            }
            Node<Key, Value> node = x.right;
            while (node.left != null) {
                if (node.left.left == null) {
                    node.left = null;
                } else {
                    node = node.left;
                }
            }
            //让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
            minRight.left = x.left;
            minRight.right = x.right;
            //让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
            x = minRight;
        }
        return x;
    }

    public int size(){
        return size;
    }



    /**
     * 节点类
     * @param 
     * @param 
     */
    private class Node<Key,Value>{
        public Key key;

        public Value value;

        public Node<Key,Value> left;

        public Node<Key, Value> right;

        public Node(Key key, Value value, Node left, Node<Key, Value> right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
}

测试代码

public class BinaryTreeTest {

    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree<Integer, String> binaryTree = new BinaryTree<>();
        binaryTree.put(1,"yhx");
        binaryTree.put(2,"love");
        binaryTree.put(3,"lwh");
        System.out.println(binaryTree.size());
        binaryTree.delete(2);
        String node = binaryTree.getNode(2);
        System.out.println(node);
        System.out.println(binaryTree.size());
    }
}

3、查找二叉树中最大/最小的键

1、最小的键

方法	描述
public Key min()	找出树中最小的键
private Node min(Node x)	找出指定树x中，最小键所在的结点

/**
     * 查找树中最小的键
     * @return
     */
public Key minKey(){
    return minKey(root).key;
}

/**
     * 根据二叉树的特点，左子树 < 右子树 so最小的键肯定是位于左边
     * @param x
     * @return
     */
public Node<Key,Value> minKey(Node<Key,Value> x){
    if (x.left != null){
        return minKey(x.left);
    }else {
        return x;
    }
}

2、最大的键

方法	描述
public Key max()	找出树中最大的键
public Node max(Node x)	找出指定树x中，最大键所在的结点

/**
     * 查询树中最大的键
     * @return
     */
    public Key maxKey(){
        return maxKey(root).key;
    }

    /**
     * 根据二叉树的特点，右子树 > 左子树 so最大的键肯定是位于右边
     * @param x
     * @return
     */
    public Node<Key,Value> maxKey(Node<Key,Value> x){
        if(x.right != null){
            return maxKey(x.right);
        }else {
            return x;
        }
    }

3、二叉树的遍历

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访
问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

前序遍历

先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
中序遍历

先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
后序遍历

先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

1、前序遍历

前序遍历的API

方法	描述
public Queue preErgodic()	使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)	使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

/**
     * 前序遍历
     * @return
     */
public Queue<Key> preErgodic(){
    Queue<Key> queue = new Queue<>();
    preErgodic(root,queue);
    return queue;
}

/**
     * 前序遍历操作 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
     * @param x 根节点
     * @param queue 队列
     */
private void preErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
    if (x == null) {
        return;
    }
    //把当前结点的key放入到队列中
    queue.enqueue(x.key);
    //访问左子树
    if(x.left != null){
        preErgodic(x.left,queue);
    }
    //访问右子树
    if(x.right != null){
        preErgodic(x.right,queue);
    }
}

2、中序遍历

中序遍历的API

方法	描述
public Queue midErgodic()	使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)	使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

/**
     * 中序遍历
     * @return
     */
    public Queue<Key> midErgodic(){
        Queue<Key> queue = new Queue<>();
        midErgodic(root,queue);
        return queue;
    }

    /**
     * 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
     * @param x
     * @param queue
     */
    private void midErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
        if (x == null) {
            return;
        }
        //访问左子树
        if(x.left != null){
            preErgodic(x.left,queue);
        }
        //把当前结点的key放入到队列中
        queue.enqueue(x.key);
        //访问右子树
        if(x.right != null){
            preErgodic(x.right,queue);
        }
    }

3、后序遍历

后序遍历的API

方法	描述
public Queue afterErgodic()	使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys)	使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

 /**
     * 后序遍历
     * @return
     */
    public Queue<Key> afterErgodic(){
        Queue<Key> queue = new Queue<>();
        afterErgodic(root,queue);
        return queue;
    }

    /**
     * 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
     * @param x
     * @param queue
     */
    private void afterErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
        if (x == null) {
            return;
        }
        //访问左子树
        if(x.left != null){
            preErgodic(x.left,queue);
        }
        //访问右子树
        if(x.right != null){
            preErgodic(x.right,queue);
        }
        //把当前结点的key放入到队列中
        queue.enqueue(x.key);
    }

4、测试

public class BinaryTreeErgodicTest {

    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();
        bt.put("E", "5");
        bt.put("B", "2");
        bt.put("G", "7");
        bt.put("A", "1");
        bt.put("D", "4");
        bt.put("F", "6");
        bt.put("H", "8");
        bt.put("C", "3");
        //前序遍历
        Queue<String> preErgodic = bt.preErgodic();
        //中序遍历
        Queue<String> midErgodic = bt.midErgodic();
        //后序遍历
        Queue<String> afterErgodic = bt.afterErgodic();
        for (String key : preErgodic) {
            System.out.println(key+"=" +bt.getNode(key));
        }
    }
}

4、层次遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值

层次遍历的结果是：EBGADFHC

方法	描述
public Queue layerErgodic()：	使用层序遍历，获取整个树中的所有键实

实现步骤：

创建队列，存储每一层的结点；
使用循环从队列中弹出一个结点：
- 获取当前结点的key
- 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
- 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

/**
     * 层次遍历
     * @return
     */
public Queue<Key> layerErgodic(){
    //存储key
    Queue<Key> keys = new Queue<>();
    //存储node
    Queue<Node<Key,Value>> nodes = new Queue<>();
    //入队头结点
    nodes.enqueue(root);
    while(!nodes.isEmpty()){
        //出队当前节点
        Node<Key,Value> dequeue = nodes.dequeue();
        //当前节点头入队
        keys.enqueue(dequeue.key);
        if(dequeue.left != null){
            nodes.enqueue(dequeue.left);
        }
        if(dequeue.right != null){
            nodes.enqueue(dequeue.right);
        }
    }
    return keys;
}

5、二叉树的最大深度

最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）

上面这颗树的最大深度为：E–>B–>D–>C，深度为4

方法	描述
public int maxDepth()	计算整棵树的最大深度
private int maxDepth(Node x)	计算指定树x的最大深度

实现步骤：

如果根结点为空，则最大深度为0；
计算左子树的最大深度；
计算右子树的最大深度；
当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

    /**
     * 计算整棵树的最大深度
     * @return
     */
    public int maxDepth(){
        return maxDepth(root);
    }

    /**
     * 计算指定节点的最大深度
     * @param x
     * @return
     */
    private int maxDepth(Node<Key,Value> x){
        if (x == null) {
            return 0;
        }
        int maxRight = 0;
        int maxLeft = 0;
        int maxDepth;
        if(x.left != null){
            maxLeft = maxDepth(x.left);
        }
        if (x.right != null) {
            maxRight = maxDepth(x.right);
        }
        maxDepth = maxLeft > maxRight ? maxLeft + 1 : maxRight + 1;
        return maxDepth;
    }

6、折纸问题

请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up

分析

我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点：

根结点为下折痕；
每一个结点的左子结点为下折痕；
每一个结点的右子结点为上折痕；