代码随想录算法训练营第45天| 70. 爬楼梯 （进阶） 322. 零钱兑换 279.完全平方数
JAVA代码编写
70. 爬楼梯（进阶版)
卡码网：57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述
输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述
输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例
3 2
输出示例
3
提示信息
数据范围：
1 <= m < n <= 32;
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
教程：https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF
方法一：动态规划
思路：和70. 爬楼梯很像，基础的是每次只能走1个或2个台阶，现在改成能走1-m中任意一个台阶。问有多少种方法走完n阶楼梯。
步骤
-
定义dp数组：dp[j]： 爬到第j层楼梯，有dp[j]种方法
-
递推公式：dp[j] = dp[j - 1] + dp[j - 2] + … +dp[j - m]
- dp[j - 1]，上j-1层楼梯，有dp[j - 1]种方法，那么再1步跳一个台阶不就是dp[j]了么。
- dp[j - 2]，上j-2层楼梯，有dp[j - 2]种方法，那么再2步跳两个台阶不就是dp[j]了么。
- …
- dp[j - m]，上j-m层楼梯，有dp[j - m]种方法，那么再m步跳两个台阶不就是dp[j]了么。
可以这样理解。因为每次只能走1个楼梯或2个楼梯…或m个楼梯，那么我们要走j个楼梯，可以从第j-m个楼梯，再走m个楼梯;…;也可以从第j-1个楼梯，再走1个楼梯。所以dp[j] = dp[j - 1] + dp[j - 2] + … +dp[j - m]
-
dp数组初始化：dp[1]=1,dp[2]=2
-
确定遍历顺序:遍历n，再遍历m
-
举例推导dp数组
n=4,m=2
简单来说，dp[j]等于前m个dp的和，这里的dp[4]=dp[3]+dp[2]，刚好是2个的和。
复杂度分析：
- 时间复杂度：
O(n * m) - 空间复杂度：
O(n)
import java.util.Scanner;
class Solution{
public static void main(String [] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m, n;
while (sc.hasNextInt()) {
// 从键盘输入参数，中间用空格隔开
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
// 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
}
}
System.out.println(dp[n]);
}
}
}
322. 零钱兑换
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
提示：
1 <= coins.length <= 121 <= coins[i] <= 231 - 10 <= amount <= 104
教程：https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html
方法一：动态规划
思路：五步曲
步骤
-
定义dp [j]：凑成和为amount的最少硬币个数为dp[j]。
-
递推公式：
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
-
dp数组初始化：dp[0] =0，考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
-
确定遍历顺序:
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
-
举例推导dp数组，
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
复杂度分析：
- 时间复杂度：
O(n * amount)，n 为coins长度 - 空间复杂度：
O(amount)
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组为最大值
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
dp[j] = max;
}
//当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
if (dp[j - coins[i]] != max) {
//选择硬币数目最小的情况
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
solution.coinChange(new int[] {1,2,5},5);
}
}
从贪心的角度看，每次放最大的硬币，一直放，直到amount剩下为amount%最大硬币值，接着放次大或能直接整除的硬币。
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if (amount == 0) return 0;
if (coins.length == 1 && amount % coins[0] != 0) return -1;
int count = 0;
Arrays.sort(coins);
for (int i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
count += amount / coins[i];
amount = amount % coins[i];
if (amount == 0) {
return count;
}
}
return -1;
}
}
但是这个代码不能通过，贪心不能通过局部最优获取全局最优。
279. 完全平方数
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 104
教程：https://programmercarl.com/0279.%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0.html#_279-%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0
方法一：动态规划
思路：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
完全背包
步骤
-
定义dp [j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。
-
递推公式：
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
-
dp数组初始化：dp[0] =0，dp[j]赋最大值
-
确定遍历顺序:
两者都可：
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
-
举例推导dp数组，
已输入n为5例，dp状态图如下：
复杂度分析：
- 时间复杂度：
O(n*sqrt(n)) - 空间复杂度：
O(n)
class Solution {
// 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
//初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
//当和为0时，组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
// 遍历背包
for (int j = i * i; j <= n; j++) {
//if (dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
//}
//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
}
}
return dp[n];
}
}
class Solution {
// 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
// 当和为0时，组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历背包
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}