CINTA第八次作业

第十二章课后习题Ring and Field

第一题

$如果环R带乘法单位元1，对任意a\in R，请证明-a=(-1)a$

$证明：$
$根据命题12.1，a(-b)=(-a)b=-ab，有-1a=(-1)a$
$又因为1是乘法单位元，有a1=1a=a$
$因此，-1a=-a，证得，-a=(-1)a$

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第二题

$如果任取环R中的元素x都满足x^2=x，请证明环R是交换环$

$证明；$
$任取a,b\in R,根据封闭性有a+b\in R$
$(a+b{)}^2=(a+b)\ast (a+b)=a^2+ab+ba+b^2$
$根据条件，x^2=x，得(a+b{)}^2=a+b，则ab+ba=0$
$ab=-ba,-ba\in R,有-ba=(-ba{)}^2=(ba{)}^2=ba$
$即ab=ba，即证环R是交换环$

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第三题

$请解释为什么Z_n在加法上的子群都是Z_n的子环$

$记Z_n在加法上的子群为R，显然R在加法上成环$
$根据命题12.3，等价于解释R在乘法上是封闭的$
$\forall a,b\in R,ab可以表示为b个a相加，则有ab\in R，得到R在乘法上封闭$
$即解释了，Z_n在加法上的子群都是Z_n的子环$

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第十四题

$证明环2Z不与环3Z同构$

$证明：$
$先假设环2Z与环3Z同构$
$因此有：映射\varphi :2Z\mapsto 3Z满足：\forall a,b\in 2Z$
$\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
$\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$
$取a=b=2,得\varphi (2)=0或2$
$而，\varphi (0)=0，\varphi 是一种双射，所以\varphi (2)=2，但2\notin 3Z$
$故，假设不成立，环2Z不与环3Z同构$

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